En matemáticas , un teorema de representación es un teorema que establece que toda estructura abstracta con ciertas propiedades es isomorfa a otra estructura (abstracta o concreta). [1]
Ejemplos de
Álgebra
- El teorema de Cayley establece que todo grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutación. [2]
- La teoría de la representación estudia las propiedades de los grupos abstractos a través de sus representaciones como transformaciones lineales de espacios vectoriales. [1]
- El teorema de representación de Stone para álgebras booleanas establece que cada álgebra booleana es isomórfica a un campo de conjuntos . [3]
- Una variante, el teorema de representación de Stone para las celosías, establece que cada celosía distributiva es isomorfa a una subred de la celosía de conjuntos de potencia de algún conjunto.
- Otra variante afirma que existe una dualidad (en el sentido de una flecha que invierte la equivalencia) entre las categorías de álgebras de Boole y la de los espacios de Stone .
- El teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt establece que cada álgebra de Lie se inserta en el álgebra de Lie del conmutador de su álgebra envolvente universal .
- El teorema de Ado establece que cada álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica cero se incrusta en el álgebra de Lie de endomorfismos de algún espacio vectorial de dimensión finita.
- HSP teorema de Birkhoff indica que cada modelo de un álgebra A es la imagen de un homomorphic subálgebra de un producto directo de copias de una . [4]
- En el estudio de semigrupos , el teorema de Wagner-Preston proporciona una representación de un semigrupo inverso S , como una imagen homomórfica del conjunto de biyecciones parciales en S , y la operación de semigrupo dada por la composición .
Teoría de categorías
- El lema de Yoneda proporciona una integración completa y fiel que preserva los límites de cualquier categoría en una categoría de pre-despegue .
- El teorema de incrustación de Mitchell para categorías abelianas reconoce cada pequeña categoría abeliana como una subcategoría completa (y exactamente incrustada) de una categoría de módulos sobre algún anillo. [5]
- El teorema del colapso de Mostowski establece que toda estructura extensional bien fundada es isomorfa a un conjunto transitivo con la relación ∈.
- Uno de los teoremas fundamentales de la teoría de las gavillas establece que cada gavilla sobre un espacio topológico puede considerarse como un haz de secciones de algún paquete (étalé) sobre ese espacio: las categorías de gavillas en un espacio topológico y las de los espacios étalé sobre él. son equivalentes, donde la equivalencia viene dada por el funtor que envía un paquete a su conjunto de secciones (locales).
Análisis funcional
- La construcción Gelfand-Naimark-Segal incrusta cualquier C * -algebra en un álgebra de operadores acotados en algún espacio de Hilbert .
- La representación de Gelfand (también conocida como el teorema conmutativo de Gelfand-Naimark) establece que cualquier álgebra C * conmutativa es isomórfica a un álgebra de funciones continuas en su espectro de Gelfand . También puede verse como la construcción como una dualidad entre la categoría de álgebras C * conmutativas y la de espacios compactos de Hausdorff .
- El teorema de representación de Riesz es en realidad una lista de varios teoremas; uno de ellos identifica el espacio dual de C 0 ( X ) con el conjunto de medidas regulares en X .
Geometría
- Los teoremas de la incrustación de Whitney incrustan cualquier variedad abstracta en algún espacio euclidiano .
- El teorema de incrustación de Nash incrusta una variedad riemanniana abstracta isométricamente en un espacio euclidiano . [6]
Referencias
- ^ a b "El glosario definitivo de jerga matemática superior" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 8 de diciembre de 2019 .
- ^ "Teorema de Cayley y su prueba" . www.sjsu.edu . Consultado el 8 de diciembre de 2019 .
- ^ Dirks, Matthew. "El teorema de representación de piedra para álgebras booleanas" (PDF) . math.uchicago.edu . Consultado el 8 de diciembre de 2019 .
- ^ Schneider, Friedrich Martin (noviembre de 2017). "Un teorema uniforme de Birkhoff". Álgebra Universalis . 78 (3): 337–354. arXiv : 1510.03166 . doi : 10.1007 / s00012-017-0460-1 . ISSN 0002-5240 .
- ^ "Teorema de incrustación de Freyd-Mitchell en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 8 de diciembre de 2019 .
- ^ "Notas sobre el teorema de incrustación de Nash" . ¿Qué hay de nuevo ? 2016-05-11 . Consultado el 8 de diciembre de 2019 .