En matemáticas y física teórica , una representación de un grupo de Lie es una acción lineal de un grupo de Lie en un espacio vectorial . De manera equivalente, una representación es un homomorfismo suave del grupo en el grupo de operadores invertibles en el espacio vectorial. Las representaciones juegan un papel importante en el estudio de la simetría continua . Se sabe mucho acerca de tales representaciones, siendo una herramienta básica en su estudio el uso de las correspondientes representaciones "infinitesimales" de las álgebras de Lie .
Representaciones de dimensión finita
Representaciones
Una representación compleja de un grupo es una acción de un grupo en un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo.. Una representación del grupo de Lie G , que actúa sobre un espacio vectorial n- dimensional V sobre es entonces un homomorfismo de grupo suave
- ,
dónde es el grupo lineal general de todas las transformaciones lineales invertibles debajo su composición. Dado que todos los espacios n -dimensionales son isomorfos, el grupo puede identificarse con el grupo de los invertibles, complejos matrices, generalmente llamadas Suavidad del mapa puede considerarse como un tecnicismo, en el sentido de que cualquier homomorfismo continuo será automáticamente suave. [1]
Alternativamente, podemos describir una representación de un grupo de Lie como una acción lineal de en un espacio vectorial . Notacionalmente, luego escribiríamos en lugar de por la forma en que un elemento de grupo actúa sobre el vector .
Un ejemplo típico en el que surgen representaciones en física sería el estudio de una ecuación diferencial parcial lineal que tiene un grupo de simetría . Aunque las soluciones individuales de la ecuación pueden no ser invariantes bajo la acción de, el espacio de todas las soluciones es invariante bajo la acción de . Por lo tanto, constituye una representación de . Vea el ejemplo de SO (3), que se analiza a continuación.
Definiciones basicas
Si el homomorfismo es inyectiva (es decir, un monomorfismo ), se dice que la representación es fiel .
Si se elige una base para el espacio vectorial complejo V , la representación se puede expresar como un homomorfismo en un grupo lineal general . Esto se conoce como representación matricial . Dos representaciones de G en los espacios vectoriales V , W son equivalentes si tienen las mismas representaciones de matriz con respecto a algunas opciones de bases para V y W .
Dada una representación , decimos que un subespacio W de V es un subespacio invariante si para todos y . Se dice que la representación es irreductible si los únicos subespacios invariantes de V son el espacio cero y el propio V. Para ciertos tipos de grupos de Lie, a saber, grupos compactos [2] y semisimple [3] , toda representación de dimensión finita se descompone como una suma directa de representaciones irreductibles, una propiedad conocida como reducibilidad completa. Para tales grupos, un objetivo típico de la teoría de la representación es clasificar todas las representaciones irreductibles de dimensión finita del grupo dado, hasta el isomorfismo. (Consulte la sección Clasificación a continuación).
Una representación unitaria en un espacio de producto interno de dimensión finita se define de la misma manera, excepto quees necesario para mapear en el grupo de operadores unitarios . Si G es un grupo de Lie compacto , toda representación de dimensión finita es equivalente a una unitaria. [2]
Representaciones de álgebra de mentiras
Cada representación de un grupo de Lie G da lugar a una representación de su álgebra de Lie; esta correspondencia se analiza en detalle en las secciones siguientes. Consulte la representación de las álgebras de Lie para la teoría del álgebra de Lie.
Un ejemplo: el grupo de rotación SO (3)
En mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo ,Juega un papel importante. En el caso tridimensional, si tiene simetría rotacional, entonces el espacio de soluciones a será invariante bajo la acción de SO (3). Por lo tanto, voluntad — por cada valor fijo de —Constituir una representación de SO (3), que normalmente es de dimensión finita. Al tratar de resolver, ayuda a saber cómo son todas las posibles representaciones de dimensión finita de SO (3). La teoría de la representación del SO (3) juega un papel clave, por ejemplo, en el análisis matemático del átomo de hidrógeno .
Cada libro de texto estándar sobre mecánica cuántica contiene un análisis que esencialmente clasifica las representaciones irreductibles de dimensión finita de SO (3), por medio de su álgebra de Lie. (Las relaciones de conmutación entre los operadores de momento angular son solo las relaciones para el álgebra de Liede SO (3).) Una sutileza de este análisis es que las representaciones del grupo y el álgebra de Lie no están en correspondencia uno a uno, un punto que es crítico para comprender la distinción entre espín entero y espín medio entero .
Representaciones ordinarias
El grupo de rotación SO (3) es un grupo de Lie compacto y, por lo tanto, cada representación de dimensión finita de SO (3) se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles. El grupo SO (3) tiene una representación irreductible en cada dimensión impar. [4] Para cada número entero no negativo, la representación irreductible de la dimensión se puede realizar como el espacio de polinomios armónicos homogéneos en de grado . [5] Aquí, SO (3) actúa sobre de la forma habitual en que las rotaciones actúan sobre funciones en :
La restricción a la esfera unitaria de los elementos de son los armónicos esféricos de grado.
Si, digamos, , entonces todos los polinomios que son homogéneos de grado uno son armónicos, y obtenemos un espacio tridimensional abarcado por los polinomios lineales , , y . Si, el espacio está dividido por los polinomios , , , , y .
Como se señaló anteriormente, las representaciones de dimensión finita de SO (3) surgen naturalmente cuando se estudia la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un potencial radial, como el átomo de hidrógeno , como un reflejo de la simetría rotacional del problema. (Vea el papel que juegan los armónicos esféricos en el análisis matemático del hidrógeno ).
Representaciones proyectivas
Si miramos el álgebra de Lie de SO (3), este álgebra de Lie es isomórfica al álgebra de Lie de SU (2). Por la teoría de la representación de, hay entonces una representación irreductible de en todas las dimensiones. Las representaciones de dimensiones pares, sin embargo, no corresponden a representaciones del grupo SO (3). [6] Sin embargo, estas representaciones denominadas de "espín fraccionario" corresponden a representaciones proyectivas de SO (3). Estas representaciones surgen en la mecánica cuántica de partículas con espín fraccional, como un electrón.
Operaciones sobre representaciones
En esta sección, describimos tres operaciones básicas sobre representaciones. [7] Véanse también las construcciones correspondientes para las representaciones de un álgebra de Lie.
Sumas directas
Si tenemos dos representaciones de un grupo , y , entonces la suma directa tendría como el espacio vectorial subyacente, con la acción del grupo dada por
para todos , y .
Ciertos tipos de grupos de Lie —en particular, los grupos de Lie compactos— tienen la propiedad de que toda representación de dimensión finita es isomorfa a una suma directa de representaciones irreductibles. [2] En tales casos, la clasificación de representaciones se reduce a la clasificación de representaciones irreductibles. Véase el teorema de Weyl sobre reducibilidad completa .
Productos tensoriales de representaciones
Si tenemos dos representaciones de un grupo , y , entonces el producto tensorial de las representaciones tendría el espacio vectorial del producto tensorial como el espacio vectorial subyacente, con la acción de determinado únicamente por el supuesto de que
para todos y . Es decir,.
La representación del álgebra de Lie asociado a la representación del producto tensorial viene dada por la fórmula: [8]
El producto tensorial de dos representaciones irreductibles no suele ser irreductible; Un problema básico en la teoría de la representación es entonces descomponer los productos tensoriales de representaciones irreductibles como una suma directa de subespacios irreducibles. Este problema recibe el nombre de "adición de momento angular" o " teoría de Clebsch-Gordan " en la literatura de física.
Representaciones duales
Dejar ser un grupo de mentiras y ser una representación de G. Sea ser el espacio dual, es decir, el espacio de funcionales lineales en . Entonces podemos definir una representación por la fórmula
donde para cualquier operador , el operador de transposición se define como la "composición con "operador:
(Si trabajamos sobre una base, entonces es solo la transposición de matriz habitual de .) La inversa en la definición de es necesario para asegurar que es en realidad una representación de , a la luz de la identidad .
El dual de una representación irreductible es siempre irreductible, [9] pero puede o no ser isomórfico a la representación original. En el caso del grupo SU (3), por ejemplo, las representaciones irreductibles están etiquetadas por un parde enteros no negativos. El dual de la representación asociado a es la representación asociada a . [10]
Grupo de mentiras versus representaciones de álgebra de Lie
Descripción general
En muchos casos, es conveniente estudiar las representaciones de un grupo de Lie estudiando las representaciones del álgebra de Lie asociada. En general, sin embargo, no todas las representaciones del álgebra de Lie provienen de una representación del grupo. Este hecho está, por ejemplo, detrás de la distinción entre espín entero y espín medio entero en la mecánica cuántica. Por otro lado, si G es un grupo simplemente conectado , entonces un teorema [11] dice que, de hecho, obtenemos una correspondencia uno a uno entre el grupo y las representaciones del álgebra de Lie.
Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie, y asumir que una representación de está a la mano. La correspondencia Lie se puede emplear para la obtención de representaciones de grupo del componente conectado del G . En términos generales, esto se logra tomando la matriz exponencial de las matrices de la representación del álgebra de Lie. Surge una sutileza si G no está simplemente conectado . Esto puede resultar en representaciones proyectivas o, en la jerga de la física, representaciones de varios valores de G . Estas son en realidad representaciones del grupo de revestimiento universal de G .
Estos resultados se explicarán con más detalle a continuación.
La correspondencia de Lie da resultados solo para el componente conectado de los grupos y, por lo tanto, los otros componentes del grupo completo se tratan por separado dando representantes para las matrices que representan estos componentes, uno para cada componente. Estos forma (representantes de) el grupo homotopy de orden cero de G . Por ejemplo, en el caso del grupo de Lorentz de cuatro componentes , los representantes de la inversión del espacio y la inversión del tiempo deben introducirse a mano . Se extraerán más ilustraciones de la teoría de la representación del grupo de Lorentz a continuación.
El mapeo exponencial
Si es un grupo de Lie con álgebra de Lie , entonces tenemos el mapa exponencial de a , Escrito como
Si es un grupo de Lie matricial, la expresión se puede calcular mediante la serie de potencias habitual para la exponencial. En cualquier grupo de Lie existen barrios de la identidad en y del origen en con la propiedad de que cada en se puede escribir de forma única como con . Es decir, el mapa exponencial tiene un inverso local . En la mayoría de los grupos, esto es solo local; es decir, el mapa exponencial no suele ser ni uno a uno ni sobre.
Representaciones de álgebra de mentiras a partir de representaciones de grupo
Siempre es posible pasar de una representación de un grupo de Lie G a una representación de su álgebra de LieSi Π: G → GL ( V ) es una representación de grupo para algún espacio vectorial V , entonces su empuje hacia adelante (diferencial) en la identidad, o mapa de Lie ,es una representación del álgebra de Lie. Se calcula explícitamente utilizando [12]
( G6 )
Una propiedad básica relacionada y implica el mapa exponencial: [12]
La pregunta que deseamos investigar es si toda representación de surge de esta manera de representaciones del grupo . Como veremos, este es el caso cuando está simplemente conectado.
Representaciones de grupo a partir de representaciones de álgebra de Lie
El principal resultado de esta sección es el siguiente: [13]
- Teorema : Si está simplemente conectado, entonces cada representación del álgebra de mentira de viene de una representación de sí mismo.
De esto deducimos fácilmente lo siguiente:
- Corolario : Si está conectado pero no simplemente conectado, cada representación de viene de una representación de , la funda universal de . Si es irreductible, entonces desciende a una representación proyectiva de .
Una representación proyectiva es aquella en la que cada se define solo hasta la multiplicación por una constante. En física cuántica, es natural permitir representaciones proyectivas además de las ordinarias, porque los estados realmente se definen solo hasta una constante. (Es decir, si es un vector en el espacio cuántico de Hilbert, entonces representa el mismo estado físico para cualquier constante .) Toda representación proyectiva de dimensión finita de un grupo de Lie conectado proviene de una representación ordinaria de la cubierta universal de . [14] A la inversa, como veremos más adelante, toda representación ordinaria irreductible de desciende a una representación proyectiva de . En la literatura de física, las representaciones proyectivas a menudo se describen como representaciones de valores múltiples (es decir, cadano tiene un valor único sino toda una familia de valores). Este fenómeno es importante para el estudio del espín fraccional en mecánica cuántica.
A continuación, describimos la prueba de los principales resultados. Suponer es una representación de en un espacio vectorial V . Si va a haber una representación de grupo de Lie asociada, debe satisfacer la relación exponencial del inciso anterior. Ahora, a la luz de la invertibilidad local de la exponencial, podemos definir un mapa de un barrio de la identidad en por esta relación:
Entonces, una pregunta clave es la siguiente: ¿Es este mapa definido localmente un "homomorfismo local"? (Esta pregunta se aplicaría incluso en el caso especial donde el mapeo exponencial es globalmente uno a uno y sobre; en ese caso, sería un mapa definido globalmente, pero no es obvio por qué sería un homomorfismo.) La respuesta a esta pregunta es sí: es un homomorfismo local, y esto se puede establecer usando la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff . [15]
Si está conectado, entonces cada elemento de es al menos un producto de exponenciales de elementos de. Por lo tanto, podemos definir tentativamente globalmente de la siguiente manera.
( G2 )
Sin embargo, tenga en cuenta que la representación de un elemento de grupo dado como un producto de exponenciales está muy lejos de ser única, por lo que está muy lejos de ser claro que está realmente bien definido.
Para abordar la cuestión de si está bien definido, conectamos cada elemento del grupo a la identidad utilizando un camino continuo. Entonces es posible definir a lo largo del camino, y para mostrar que el valor de no cambia bajo la deformación continua de la ruta con puntos finales fijos. Si está simplemente conectado, cualquier camino que comience en la identidad y termine en puede deformarse continuamente en cualquier otro camino de este tipo, lo que demuestra que es totalmente independiente de la elección del camino. Dado que la definición inicial decerca de la identidad había un homomorfismo local, no es difícil demostrar que el mapa definido globalmente es también un homomorfismo satisfactorio (G2) . [dieciséis]
Si no está simplemente conectado, podemos aplicar el procedimiento anterior a la cubierta universal de . Dejarser el mapa de cobertura. Si sucediera que el núcleo de contiene el núcleo de , luego desciende a una representación del grupo original . Incluso si este no es el caso, tenga en cuenta que el núcleo de es un subgrupo normal discreto de , que por lo tanto está en el centro de . Por tanto, sies irreductible, el lema de Schur implica que el núcleo deactuará por múltiplos escalares de la identidad. Por lo tanto,desciende a una representación proyectiva de, es decir, uno que se define sólo módulo escalar múltiplos de la identidad.
Una vista pictórica de cómo el grupo de cobertura universal contiene todas esas clases de homotopía, y una definición técnica de la misma (como un conjunto y como un grupo) se da en una vista geométrica .
Por ejemplo, cuando se especializa en el SO (3, 1) + doblemente conectado , el grupo de cobertura universal es, y si su representación correspondiente es fiel decide si Π es proyectiva .
Clasificación en el caso compacto
Si G es un grupo de Lie compacto conectado , sus representaciones de dimensión finita se pueden descomponer como sumas directas de representaciones irreducibles . [17] Los irreducibles se clasifican mediante un " teorema de mayor peso ". Damos una breve descripción de esta teoría aquí; para más detalles, consulte los artículos sobre la teoría de la representación de un grupo de Lie compacto conectado y la teoría paralela que clasifica las representaciones de álgebras de Lie semisimple .
Deje que T sea un toro máxima en G . Según el lema de Schur , las representaciones irreductibles de T son unidimensionales. Estas representaciones pueden clasificarse fácilmente y están etiquetadas por ciertos "elementos analíticamente integrales" o "pesos". Sies una representación irreductible de G , la restricción dea T normalmente no será irreductible, pero se descompondrá como una suma directa de representaciones irreducibles de T , etiquetadas por los pesos asociados. (El mismo peso puede ocurrir más de una vez)., se puede identificar uno de los pesos como "más alto" y las representaciones se clasifican luego por este peso más alto.
Un aspecto importante de la teoría de la representación es la teoría asociada de los personajes . Aquí, para una representaciónde G , el carácter es la función
dada por
Dos representaciones con el mismo carácter resultan isomorfas. Además, la fórmula del carácter de Weyl proporciona una fórmula notable para el carácter de una representación en términos de su peso más alto. Esta fórmula no solo proporciona mucha información útil sobre la representación, sino que juega un papel crucial en la demostración del teorema de mayor peso.
Representaciones unitarias en espacios de Hilbert
Sea V un espacio de Hilbert complejo, que puede ser de dimensión infinita, y seadenotar el grupo de operadores unitarios en V . Una representación unitaria de un grupo de Lie G en V es un homomorfismo de grupo con la propiedad que por cada fijo , el mapa
es un mapa continuo de G en V .
Representaciones unitarias de dimensión finita
Si el espacio de Hilbert V es de dimensión finita, hay una representación asociada del álgebra de mentira de . Si está conectado, entonces la representación de es unitario si y solo si es sesgado-autoadjunto para cada . [18]
Si es compacto , entonces cada representación de en un espacio vectorial de dimensión finita V es "unitarizable", lo que significa que es posible elegir un producto interno en V para que cadaes unitario. [19]
Representaciones unitarias de dimensión infinita
Si se permite que el espacio de Hilbert V sea de dimensión infinita, el estudio de las representaciones unitarias implica una serie de características interesantes que no están presentes en el caso de dimensión finita. Por ejemplo, la construcción de una representación apropiada del álgebra de Liese vuelve técnicamente desafiante. Un entorno en el que se comprende bien la representación del álgebra de Lie es el de los grupos de Lie semisimple (o reductivo), donde la representación del álgebra de Lie asociada forma un módulo (g, K) .
Los ejemplos de representaciones unitarias surgen en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos, pero también en el análisis de Fourier, como se muestra en el siguiente ejemplo. Dejar, Y dejar que el complejo espacio de Hilbert V sea. Definimos la representación por
A continuación se muestran algunos ejemplos importantes en los que se han analizado representaciones unitarias de un grupo de Lie.
- El teorema de Stone-von Neumann puede entenderse como una clasificación de las representaciones unitarias irreductibles del grupo de Heisenberg .
- La clasificación de Wigner para las representaciones del grupo de Poincaré juega un papel conceptual importante en la teoría cuántica de campos al mostrar cómo la masa y el giro de las partículas pueden entenderse en términos de teoría de grupos.
- La teoría de la representación de SL (2, R) fue elaborada por V. Bargmann y sirve como prototipo para el estudio de representaciones unitarias de grupos de Lie no compactos semisimplejos.
Representaciones proyectivas
En física cuántica, a menudo nos interesan las representaciones unitarias proyectivas de un grupo de Lie.. La razón de este interés es que los estados de un sistema cuántico están representados por vectores en un espacio de Hilbert.—Pero con el entendimiento de que dos estados que se diferencian por una constante son en realidad el mismo estado físico. Las simetrías del espacio de Hilbert son luego descritas por operadores unitarios, pero un operador unitario que es un múltiplo de la identidad no cambia el estado físico del sistema. Por tanto, no nos interesan las representaciones unitarias ordinarias, es decir, los homomorfismos de en el grupo unitario Pero más bien en representaciones unitarias proyectivas, es decir, homomorfismos de en el grupo unitario proyectivo
Para decirlo de otra manera, para una representación proyectiva, construimos una familia de operadores unitarios , donde se entiende que cambiando por una constante de valor absoluto 1 se cuenta como "el mismo" operador. Los operadoresluego se requieren para satisfacer la propiedad de homomorfismo hasta una constante :
Ya hemos discutido las representaciones unitarias proyectivas irreductibles del grupo de rotación SO (3) arriba; considerar representaciones proyectivas permite el giro fraccional además del giro entero.
El teorema de Bargmann establece que para ciertos tipos de grupos de Lie, representaciones unitarias proyectivas irreductibles de están en correspondencia uno a uno con representaciones unitarias ordinarias de la cobertura universal de . Ejemplos importantes en los que se aplica el teorema de Bargmann son SO (3) (como se acaba de mencionar) y el grupo de Poincaré . El último caso es importante para la clasificación de Wigner de las representaciones proyectivas del grupo de Poincaré, con aplicaciones a la teoría cuántica de campos.
Un ejemplo donde el teorema de Bargmann no se aplica es el grupo. El conjunto de traducciones en posición e impulso en formar una representación unitaria proyectiva de pero no proceden de una representación ordinaria de la cobertura universal de —Que es solo sí mismo. En este caso, para obtener una representación ordinaria, hay que pasar al grupo de Heisenberg , que es una extensión central unidimensional de. (Vea la discusión aquí ).
El caso conmutativo
Si es un grupo de Lie conmutativo , entonces toda representación unitaria irreductible deen espacios vectoriales complejos es unidimensional. (Esta afirmación se deriva del lema de Schur y se mantiene incluso si no se supone de antemano que las representaciones son de dimensión finita). Por lo tanto, las representaciones unitarias irreductibles de son simplemente homomorfismos continuos de en el grupo de círculo unitario, U (1). Por ejemplo, si, las representaciones unitarias irreductibles tienen la forma
- ,
por un número real .
Véase también la dualidad de Pontryagin para este caso.
Ver también
- Teoría de representación de grupos compactos conectados
- Representación del álgebra de mentiras
- Representación proyectiva
- Teoría de representación de SU (2)
- Teoría de la representación del grupo de Lorentz
- Teoría de la representación de las álgebras de Hopf
- Representación adjunta de un grupo de Lie
- Lista de temas del grupo de mentiras
- Simetría en mecánica cuántica
- Matriz D de Wigner
Notas
- ↑ Hall 2015 Corolario 3.51
- ^ a b c Teorema 4.28 de Hall 2015
- ^ Salón 2015 Sección 10.3
- ^ Salón 2015 Sección 4.7
- ↑ Hall 2013 Sección 17.6
- ^ Salón 2015 Proposición 4.35
- ↑ Hall 2015 , Sección 4.3
- ↑ Hall 2015 , Proposición 4.18
- ^ Salón 2015 Proposición 4.22
- ^ Hall 2015 Capítulo 6, Ejercicio 3. Véase también Capítulo 10, Ejercicio 10
- ^ Teorema 5.6 de Hall 2015
- ↑ a b Hall 2015 , Teorema 3.28
- ↑ Hall 2015 , Teorema 5.6
- ^ Pasillo 2013 , sección 16.7.3
- ↑ Hall 2015 , Proposición 5.9
- ↑ Hall 2015 , Teorema 5.10
- ^ Teoremas de Hall 2015 4.28
- ^ Salón 2015 Proposición 4.8
- ^ Salón 2015 prueba de la Proposición 4.28
Referencias
- Fulton, W .; Harris, J. (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 .
- Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158.
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
- Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción , Progreso en matemáticas, 140 (2a ed.), Boston: Birkhäuser.
- Rossmann, Wulf (2001), Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859683-7. La reimpresión de 2003 corrige varios errores tipográficos.
- Weinberg, S. (2002) [1995], Fundamentos , La teoría cuántica de los campos, 1 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7