Teoría de la representación del grupo simétrico
En matemáticas , la teoría de la representación del grupo simétrico es un caso particular de la teoría de la representación de los grupos finitos , de la que se puede obtener una teoría concreta y detallada. Esto tiene una gran área de aplicaciones potenciales, desde la teoría de funciones simétricas hasta problemas de mecánica cuántica para varias partículas idénticas .
El grupo simétrico S n tiene orden n !. Sus clases de conjugación están etiquetadas por particiones de n . Por tanto, según la teoría de la representación de un grupo finito, el número de representaciones irreducibles no equivalentes , sobre los números complejos , es igual al número de particiones de n . A diferencia de la situación general para grupos finitos, de hecho existe una forma natural de parametrizar representaciones irreducibles por el mismo conjunto que parametriza clases de conjugación, a saber, por particiones de n o diagramas de Young equivalentes de tamaño n .
Cada representación irreducible de este tipo puede, de hecho, realizarse sobre los números enteros (cada permutación actúa mediante una matriz con coeficientes enteros); puede construirse explícitamente calculando los simetrizadores de Young que actúan sobre un espacio generado por los cuadros de forma de Young dados por el diagrama de Young. La dimensión de la representación que corresponde al diagrama de Young viene dada por la fórmula de la longitud del gancho .
A cada representación irreducible ρ podemos asociar un carácter irreducible, χ ρ . Para calcular χ ρ (π) donde π es una permutación, se puede usar la regla combinatoria de Murnaghan-Nakayama . [1] Tenga en cuenta que χ ρ es constante en las clases de conjugación, es decir, χ ρ (π) = χ ρ (σ −1 πσ) para todas las permutaciones σ.
En otros campos la situación puede volverse mucho más complicada. Si el campo K tiene una característica igual a cero o mayor que n entonces por el teorema de Maschke el álgebra de grupos K S n es semisimple. En estos casos las representaciones irreducibles definidas sobre los enteros dan el conjunto completo de representaciones irreducibles (después de la reducción módulo la característica si es necesario).
Sin embargo, las representaciones irreducibles del grupo simétrico no se conocen en características arbitrarias. En este contexto es más habitual utilizar el lenguaje de módulos que el de representaciones. La representación obtenida a partir de una representación irreducible definida sobre los números enteros reduciendo módulo la característica no será en general irreducible. Los módulos así construidos se llaman módulos de Specht , y cada irreducible surge dentro de alguno de esos módulos. Ahora hay menos irreducibles, y aunque se pueden clasificar, se entienden muy poco. Por ejemplo, incluso sus dimensiones no se conocen en general.
