En matemáticas , un coeficiente de matriz (o elemento de matriz ) es una función en un grupo de una forma especial, que depende de una representación lineal del grupo y datos adicionales. Precisamente, se trata de una función en un grupo topológico compacto G obtiene por componer una representación de G en un espacio vectorial V con un mapa lineal de los endomorfismos de V en V subyacente 's campo . También se le llama función representativa .[1] Surgen naturalmente de representaciones de dimensión finita de G como las funciones de entrada de matriz de las representaciones de matriz correspondientes. El teorema de Peter-Weyl dice que los coeficientes de la matriz en G son densos en el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables en G.
Los coeficientes matriciales de las representaciones de los grupos de Lie resultaron estar íntimamente relacionados con la teoría de funciones especiales , proporcionando un enfoque unificador de gran parte de esta teoría. Las propiedades de crecimiento de los coeficientes de la matriz juegan un papel clave en la clasificación de representaciones irreductibles de grupos localmente compactos , en particular, grupos reductivos reales y p -ádicos . El formalismo de los coeficientes matriciales conduce a una generalización de la noción de forma modular . En una dirección diferente, las propiedades de mezcla de ciertos sistemas dinámicos están controladas por las propiedades de los coeficientes de matriz adecuados.
Un coeficiente de matriz (o elemento de matriz ) de una representación lineal ρ de un grupo G en un espacio vectorial V es una función f v, η en el grupo, del tipo
donde v es un vector en V , η es un continuo funcional lineal en V , y g es un elemento de G . Esta función toma valores escalares en G . Si V es un espacio de Hilbert , entonces, según el teorema de representación de Riesz , todos los coeficientes de la matriz tienen la forma
Para V de dimensión finita, yv y w tomados de una base estándar , esta es en realidad la función dada por la entrada de la matriz en un lugar fijo.
Los coeficientes matriciales de representaciones irreductibles de grupos finitos juegan un papel destacado en la teoría de la representación de estos grupos, desarrollada por Burnside , Frobenius y Schur . Satisfacen las relaciones de ortogonalidad de Schur . El carácter de una representación ρ es una suma de los coeficientes de la matriz f v i , η i , donde { v i } forman una base en el espacio de representación de ρ, y {η i } forman la base dual .