En los sistemas no lineales , una interacción resonante es la interacción de tres o más ondas , generalmente, pero no siempre, de pequeña amplitud. Las interacciones resonantes ocurren cuando se cumple un conjunto simple de criterios que acoplan los vectores de onda y la ecuación de dispersión . La simplicidad de los criterios hace que la técnica sea popular en múltiples campos. Sus formas más destacadas y desarrolladas aparecen en el estudio de las ondas gravitatorias , pero también encuentra numerosas aplicaciones desde la astrofísica y la biología hasta la ingeniería y la medicina. El trabajo teórico sobre ecuaciones diferenciales parciales proporciona conocimientos sobre la teoría del caos ; hay enlaces curiosos ateoría de números . Las interacciones resonantes permiten que las ondas se dispersen (elásticamente) , se difundan o se vuelvan inestables . [1] Los procesos de difusión son responsables de la eventual termalización de la mayoría de los sistemas no lineales; Las inestabilidades ofrecen información sobre el caos y la turbulencia de alta dimensión .
Discusión
El concepto subyacente es que cuando la suma total de la energía y el momento de varios modos vibracionales suman cero, son libres de mezclarse mediante no linealidades en el sistema en estudio. Los modos para los que la energía y el momento no suman cero no pueden interactuar, ya que esto implicaría una violación de la conservación de energía / momento. Se entiende que la cantidad de movimiento de una onda viene dada por su vector de onda y su energía se sigue de la relación de dispersión del sistema.
Por ejemplo, para tres ondas en medios continuos , la condición de resonancia se escribe convencionalmente como el requisito de que y también , el signo menos se toma dependiendo de cómo se redistribuye la energía entre las ondas. Para ondas en medios discretos, como en simulaciones por computadora en una red o en sistemas de estado sólido (no lineales) , los vectores de onda se cuantifican y los modos normales pueden denominarse fonones . La zona de Brillouin define un límite superior en el vector de onda, y las ondas pueden interactuar cuando suman múltiplos enteros de los vectores de Brillouin ( dispersión de Umklapp ).
Aunque los sistemas de tres ondas proporcionan la forma más simple de interacciones resonantes en ondas, no todos los sistemas tienen interacciones de tres ondas. Por ejemplo, la ecuación de ondas de aguas profundas, un sistema de medios continuos, no tiene una interacción de tres ondas. [2] El problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou , un sistema de medios discretos, no tiene una interacción de tres ondas. Tiene una interacción de cuatro ondas, pero esto no es suficiente para termalizar el sistema; que requiere una interacción de seis ondas. [3] Como resultado, el tiempo de termalización eventual va como la octava potencia inversa del acoplamiento — claramente, un tiempo muy largo para el acoplamiento débil — permitiendo así que las famosas recurrencias FPUT dominen en escalas de tiempo "normales".
Formulación hamiltoniana
En muchos casos, el sistema en estudio se puede expresar fácilmente en un formalismo hamiltoniano . Cuando esto es posible, se puede aplicar un conjunto de manipulaciones que tengan la forma de una transformada de Fourier no lineal generalizada . Estas manipulaciones están estrechamente relacionadas con el método de dispersión inversa .
Un ejemplo particularmente simple se puede encontrar en el tratamiento de olas de aguas profundas. [4] [2] En tal caso, el sistema se puede expresar en términos de un hamiltoniano, formulado en términos de coordenadas canónicas . Para evitar confusiones de notación, escribapara estos dos; se supone que son variables conjugadas que satisfacen la ecuación de Hamilton. Estos deben entenderse como funciones de las coordenadas del espacio de configuración., es decir , funciones de espacio y tiempo. Tomando la transformada de Fourier , escribe
y lo mismo para . Aquí,es el vector de onda . Cuando está "en caparazón", está relacionado con la frecuencia angular.por la relación de dispersión . Los operadores de escalera siguen de forma canónica:
con alguna función de la frecuencia angular. Lacorresponden a los modos normales del sistema linealizado. El hamiltoniano (la energía) ahora se puede escribir en términos de estos operadores de subida y bajada (a veces llamados " variables de densidad de acción ") como
Aquí, el primer término es cuadrático en y representa la teoría linealizada, mientras que las no linealidades se capturan en , que es cúbico o de orden superior.
Dado lo anterior como punto de partida, el sistema se descompone en modos "libre" y "limitado". [3] [2] Los modos ligados no tienen una dinámica independiente propia; por ejemplo, los armónicos más altos de una solución de solitón están vinculados al modo fundamental y no pueden interactuar. Esto puede reconocerse por el hecho de que no siguen la relación de dispersión y no tienen interacciones resonantes. En este caso, se aplican transformaciones canónicas , con el objetivo de eliminar términos que no interactúan, dejando modos libres. Es decir, uno reescribe y lo mismo para , y reescribe el sistema en términos de estos nuevos modos "libres" (o al menos, más libres). Bien hecho, esto dejaexpresado solo con términos que interactúan de manera resonante. Sies cúbico, estos son los términos de tres ondas ; si es cuartico, estos son los términos de cuatro ondas, y así sucesivamente. Las transformaciones canónicas pueden repetirse para obtener términos de orden superior, siempre que las interacciones resonantes de orden inferior no se dañen y se evite hábilmente el problema del pequeño divisor , [5] que ocurre cuando hay casi resonancias. Los términos en sí dan la tasa o velocidad de la mezcla y, a veces, se denominan coeficientes de transferencia o matriz de transferencia . Al final, se obtiene una ecuación para la evolución temporal de los modos normales, corregida mediante términos de dispersión. Escogiendo uno de los modos del grupo, llámalo a continuación, la evolución en el tiempo tiene la forma genérica
con los coeficientes de transferencia para la interacción de n ondas, y lacapturando la noción de conservación de energía / momento implícita en la interacción resonante. Aquí es cualquiera o según sea apropiado. Para las ondas de aguas profundas, lo anterior se denomina ecuación de Zakharov , que lleva el nombre de Vladimir E. Zakharov .
Historia
Las interacciones resonantes fueron consideradas y descritas por primera vez por Henri Poincaré en el siglo XIX, en el análisis de series de perturbaciones que describen el movimiento planetario de 3 cuerpos . Se puede entender que los términos de primer orden de la serie perturbativa forman una matriz ; los valores propios de la matriz corresponden a los modos fundamentales en la solución perturbada. Poincaré observó que, en muchos casos, existen combinaciones lineales enteras de los valores propios que suman cero; esta es la interacción resonante original . Cuando está en resonancia, la transferencia de energía entre modos puede mantener el sistema en un estado estable de bloqueo de fase . Sin embargo, pasar al segundo orden es un desafío de varias maneras. Una es que las soluciones degeneradas son difíciles de diagonalizar (no existe una base vectorial única para el espacio degenerado). Un segundo problema es que aparecen diferencias en el denominador de los términos de segundo orden y superior en la serie de perturbaciones; las pequeñas diferencias conducen al famoso problema del pequeño divisor . Estos pueden interpretarse como correspondientes a un comportamiento caótico. Para resumir a grandes rasgos, las resonancias precisas conducen a la dispersión y la mezcla; las resonancias aproximadas conducen a un comportamiento caótico.
Aplicaciones
Las interacciones resonantes han encontrado una amplia utilidad en muchas áreas. A continuación se muestra una lista seleccionada de algunos de ellos, que indica la amplia variedad de dominios a los que se han aplicado las ideas.
- En aguas profundas, no hay interacciones de tres ondas entre las ondas de gravedad superficiales ; la forma de la relación de dispersión lo prohíbe. Sin embargo, existe una interacción de cuatro ondas; describe muy bien la interacción observada experimentalmente de ondas que se mueven oblicuamente ( es decir, sin parámetros o ajustes libres). [6] El formalismo hamiltoniano para las ondas de aguas profundas fue dado por Zakharov en 1968 [4]
- Las olas gigantes son olas superficiales oceánicas inusualmente grandes e inesperadas; los solitones están implicados, y específicamente, las interacciones resonantes entre tres de ellos. [7]
- Las ondas de Rossby , también conocidas como ondas planetarias, describen la corriente en chorro y las ondas oceánicas que se mueven a lo largo de la termoclina . Hay interacciones resonantes de tres ondas de ondas de Rossby, por lo que se estudian comúnmente como tales. [8]
- Se ha observado que las interacciones resonantes de las ondas de Rossby tienen una conexión con las ecuaciones diofánticas , que normalmente se consideran un tema en la teoría de números. [9]
- Durante el verano en aguas costeras poco profundas, se ha observado que las ondas sonoras de baja frecuencia se propagan de forma anómala. Las anomalías dependen del tiempo, son anisotrópicas y pueden presentar una atenuación anormalmente grande . Se ha propuesto que la interacción resonante entre ondas acústicas y ondas internas de solitón es la fuente de estas anomalías. [10]
- En astrofísica , se han propuesto interacciones resonantes no lineales entre deformaciones y oscilaciones en el disco de acreción que gira relativistamente alrededor de un agujero negro como el origen de las oscilaciones cuasi-periódicas de kilohercios observadas en binarios de rayos X de baja masa . [11] La no linealidad que proporciona el acoplamiento se debe a la relatividad general; Los discos de acreción en la gravedad newtoniana, por ejemplo, los anillos de Saturno no tienen este tipo particular de interacción resonante (sin embargo, demuestran muchos otros tipos de resonancias).
- Durante la entrada atmosférica de la nave espacial , la alta velocidad de la nave espacial calienta el aire hasta convertirlo en un plasma al rojo vivo . Este plasma es impenetrable a las ondas de radio, lo que provoca un apagón de las comunicaciones por radio. Las interacciones resonantes que acoplan mecánicamente (acústicamente) la nave espacial al plasma se han investigado como un medio para perforar un agujero o hacer un túnel a través de la onda de radio, restableciendo así las comunicaciones por radio durante una fase de vuelo crítica. [12]
- Las interacciones resonantes se han propuesto como una forma de acoplar la alta resolución espacial de los microscopios electrónicos a la alta resolución temporal de los láseres , lo que permite la microscopía de precisión tanto en el espacio como en el tiempo. [13] La interacción resonante es entre electrones libres y electrones ligados en la superficie de un material.
- Las partículas cargadas pueden acelerarse mediante la interacción resonante con ondas electromagnéticas. [14] Las partículas escalares (átomos neutros) descritas por la ecuación de Klein-Gordon pueden acelerarse mediante ondas gravitacionales ( por ejemplo, las emitidas por fusiones de agujeros negros). [15]
- La base física de la bioactividad macromolecular, el reconocimiento molecular , la interacción proteína- proteína y proteína- ADN , es poco conocida. Se sabe que tales interacciones son electromagnéticas (obviamente, su "química"), pero por lo demás no se comprenden bien (no son "solo enlaces de hidrógeno "). El modelo de reconocimiento resonante (RRM) describe dicha unión molecular en términos de interacciones resonantes. [16] [17] Dada una proteína, los electrones de valencia en varios aminoácidos se deslocalizan y tienen cierta libertad de movimiento dentro de la proteína. Su comportamiento se puede modelar de una manera relativamente sencilla con un pseudopotencial de iones de electrones (EIIP), uno para cada aminoácido o nucleótido distinto . El resultado del modelado proporciona espectros , a los que se puede acceder experimentalmente, confirmando así los resultados numéricos. Además, el modelo proporciona la relación de dispersión necesaria a partir de la cual se pueden deducir las interacciones resonantes. Las interacciones resonantes se obtienen calculando espectros cruzados . Dado que las interacciones resonantes mezclan estados (y por lo tanto alteran la entropía ), el reconocimiento podría proceder a través de fuerzas entrópicas .
- La interacción resonante entre campos electromagnéticos de alta frecuencia y células cancerosas se ha propuesto como método para tratar el cáncer. [18]
Ver también
- Ecuación de tres ondas
- Método de dispersión inversa
- Matriz S
- Resonancia orbital
- Resonancia no lineal
- Resonancia de marea
- Lengua de Arnold
Referencias
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