En los sistemas no lineales , las ecuaciones de tres ondas , a veces llamadas ecuaciones de interacción resonante de tres ondas o resonancias de tríadas , describen ondas de pequeña amplitud en una variedad de medios no lineales, incluidos circuitos eléctricos y ópticas no lineales . Son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales completamente integrables . Debido a que proporcionan el ejemplo más simple y directo de una interacción resonante , tienen una amplia aplicabilidad en las ciencias y son completamente integrables, se han estudiado intensamente desde la década de 1970. [1]
Introducción informal
La ecuación de tres ondas surge al considerar algunos de los sistemas no lineales imaginables más simples . Los sistemas diferenciales lineales tienen la forma genérica
por algún operador diferencial D . La extensión no lineal más simple de esto es escribir
¿Cómo se puede solucionar esto? Hay varios enfoques disponibles. En algunos casos excepcionales, es posible que se conozcan soluciones exactas para ecuaciones de esta forma. En general, se encuentran de alguna manera ad hoc después de aplicar un poco de ansatz . Un segundo enfoque es asumir quey utilizar la teoría de la perturbación para encontrar "correcciones" a la teoría linealizada. Un tercer enfoque consiste en aplicar técnicas de la teoría de la matriz de dispersión ( matriz S ).
En el enfoque de la matriz S, se consideran partículas u ondas planas que vienen del infinito, interactúan y luego se mueven hacia el infinito. Contando desde cero, el caso de partículas cero corresponde al vacío , que consiste enteramente en el fondo. El caso de una partícula es una onda que viene del pasado distante y luego desaparece en el aire; esto puede suceder cuando el fondo es absorbente, amortiguador o disipativo . Alternativamente, una ola aparece de la nada y se aleja. Esto ocurre cuando el fondo es inestable y genera ondas: se dice que el sistema " irradia ". El caso de dos partículas consiste en una partícula que entra y luego sale. Esto es apropiado cuando el fondo no es uniforme: por ejemplo, entra una onda plana acústica, se dispersa desde un submarino enemigo y luego se mueve hacia el infinito; mediante un análisis cuidadoso de la onda saliente, se pueden deducir las características de la falta de homogeneidad espacial. Hay dos posibilidades más: creación de parejas y aniquilación de parejas . En este caso, se crea un par de ondas "de la nada" (interactuando con algún fondo) o desaparecen en el aire.
Lo siguiente en este aspecto es la interacción de tres partículas. Es único, ya que no requiere ningún fondo o vacío que interactúe, ni es "aburrido" en el sentido de una onda plana que no interactúa en un fondo homogéneo. Escritura para estas tres ondas que se mueven desde / hacia el infinito, esta interacción cuadrática más simple toma la forma de
y permutaciones cíclicas de los mismos. Esta forma genérica se puede llamar ecuación de tres ondas ; un formulario específico se presenta a continuación. Un punto clave es que todas las interacciones resonantes cuadráticas se pueden escribir en esta forma (dados los supuestos apropiados). Para sistemas que varían en el tiempo dondese puede interpretar como energía , se puede escribir
para una versión dependiente del tiempo.
Revisar
Formalmente, la ecuación de tres ondas es
dónde cíclico, es la velocidad de grupo de la onda que tienecomo el vector de onda y la frecuencia angular , yel gradiente , tomado en el espacio plano euclidiano en n dimensiones. Lason los coeficientes de interacción; Al cambiar la escala de la ola, se pueden tomar. Por permutación cíclica, hay cuatro clases de soluciones. Escritura uno tiene . Lason todos equivalentes bajo permuación. En 1 + 1 dimensiones, hay tres distintas soluciones: el soluciones, denominadas explosivas ; lacasos, denominada retrodispersión estimulada , y lacaso, denominado intercambio de solitones . Estos corresponden a procesos físicos muy distintos. [2] [3] Una solución interesante se denomina simultón , consta de tres solitones comovirtiendo, moviéndose a una velocidad v que difiere de cualquiera de las tres velocidades de grupo. Esta solución tiene una posible relación con las "tres hermanas" observadas en ondas rebeldes , aunque las aguas profundas no tienen una interacción resonante de tres ondas.
Las notas de la conferencia de Harvey Segur proporcionan una introducción. [4]
Las ecuaciones tienen un par Lax y, por lo tanto, son completamente integrables . [1] [5] El par Lax es un par de matrices de 3x3, al que se puede aplicar el método de dispersión inversa , utilizando técnicas de Fokas . [6] [7] Se conocen las clases de soluciones espacialmente uniformes, que están dadas por la función ℘ elíptica de Weierstrass . [8] Las relaciones de interacción resonante se denominan en este caso relaciones de Manley-Rowe ; los invariantes que describen se relacionan fácilmente con los invariantes modulares y [9] Que estos aparezcan quizás no sea del todo sorprendente, ya que hay un argumento intuitivo simple. Restando un vector de onda de los otros dos, uno se queda con dos vectores que generan una red de período . Todas las posibles posiciones relativas de dos vectores están dadas por el invariante j de Klein, por lo que uno debería esperar que las soluciones se caractericen por esto.
Se conocen diversas soluciones exactas para diversas condiciones de contorno. [10] Recientemente se ha dado una "solución casi general" a la PDE no lineal completa para la ecuación de tres ondas. Se expresa en términos de cinco funciones que se pueden elegir libremente y una serie de Laurent para el sexto parámetro. [8] [9]
Aplicaciones
Algunas aplicaciones seleccionadas de las ecuaciones de tres ondas incluyen:
- En óptica no lineal , se pueden crear láseres sintonizables que cubren un amplio espectro de frecuencias mediante la mezcla paramétrica de tres ondas en cuadrática () cristales no lineales . [ cita requerida ]
- Ondas acústicas de superficie y en amplificadores paramétricos electrónicos .
- Las ondas de aguas profundas no tienen en sí mismas una interacción de tres ondas; sin embargo, esto se evita en múltiples escenarios:
- Las ondas capilares de aguas profundas se describen mediante la ecuación de tres ondas. [4]
- Las ondas acústicas se acoplan a ondas de aguas profundas en una interacción de tres ondas, [11]
- Las ondas de vorticidad se acoplan en una tríada.
- Una corriente uniforme (necesariamente espacialmente no homogénea en profundidad) tiene interacciones de tríadas.
- Todos estos casos se describen naturalmente mediante la ecuación de tres ondas.
- En física del plasma , la ecuación de tres ondas describe el acoplamiento en plasmas. [12]
Referencias
- ^ a b Zakharov, VE; Manakov, SV (1975). "Sobre la teoría de la interacción resonante de paquetes de ondas en medios no lineales" (PDF) . Física soviética JETP . 42 (5): 842–850.
- ^ Degasperis, A .; Conforti, M .; Baronio, F .; Wabnitz, S .; Lombardo, S. (2011). "Las ecuaciones de interacción resonante de tres ondas: métodos numéricos y espectrales" (PDF) . Letras en Física Matemática . 96 (1–3): 367–403. Código Bibliográfico : 2011LMaPh..96..367D . doi : 10.1007 / s11005-010-0430-4 . S2CID 18846092 .
- ^ Kaup, DJ; Reiman, A .; Bers, A. (1979). "Evolución espacio-temporal de interacciones de tres ondas no lineales. I. Interacción en un medio homogéneo". Reseñas de Física Moderna . 51 (2): 275-309. Código Bibliográfico : 1979RvMP ... 51..275K . doi : 10.1103 / RevModPhys.51.275 .
- ^ a b Segur, H .; Grisouard, N. (2009). "Lección 13: Resonancias de tríada (o 3 ondas)" (PDF) . Dinámica de fluidos geofísica . Institución Oceanográfica Woods Hole .
- ^ Zakharov, VE; Manakov, SV; Novikov, SP; Pitaevskii, LI (1984). Teoría de los solitones: el método de dispersión inversa . Nueva York: Plenum Press . Bibcode : 1984lcb..book ..... N .
- ^ Fokas, AS; Ablowitz, MJ (1984). "Sobre la transformada de dispersión inversa de ecuaciones no lineales multidimensionales relacionadas con sistemas de primer orden en el plano". Revista de Física Matemática . 25 (8): 2494–2505. Código Bibliográfico : 1984JMP .... 25.2494F . doi : 10.1063 / 1.526471 .
- ^ Lenells, J. (2012). "Problemas de valor de frontera inicial para ecuaciones de evolución integrables con 3 × 3 pares Lax". Physica D . 241 (8): 857–875. arXiv : 1108.2875 . Código bibliográfico : 2012PhyD..241..857L . doi : 10.1016 / j.physd.2012.01.010 . S2CID 119144977 .
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- ^ a b Martin, RA; Segur, H. (2016). "Hacia una solución general de las ecuaciones diferenciales parciales de tres ondas" . Estudios de Matemática Aplicada . 137 : 70–92. doi : 10.1111 / sapm.12133 .
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