En geometría diferencial , el tensor de curvatura de Ricci , llamado así por Gregorio Ricci-Curbastro , es un objeto geométrico que está determinado por una elección de métrica riemanniana o pseudo-riemanniana en una variedad . Puede considerarse, en términos generales, como una medida del grado en que la geometría de un tensor métrico dado difiere localmente de la del espacio euclidiano ordinario o del espacio pseudo-euclidiano .
El tensor de Ricci se puede caracterizar mediante la medición de cómo se deforma una forma a medida que uno se mueve a lo largo de las geodésicas en el espacio. En la relatividad general , que implica la configuración pseudo-riemanniana, esto se refleja en la presencia del tensor de Ricci en la ecuación de Raychaudhuri . En parte por esta razón, las ecuaciones de campo de Einstein proponen que el espacio-tiempo puede describirse mediante una métrica pseudo-riemanniana, con una relación sorprendentemente simple entre el tensor de Ricci y el contenido de materia del universo.
Al igual que el tensor métrico, el tensor de Ricci asigna a cada espacio tangente de la variedad una forma bilineal simétrica ( Besse 1987 , p. 43). [1] En líneas generales, se podría comparar el papel de la curvatura de Ricci en la geometría de Riemann con el de la laplaciana en el análisis de funciones; en esta analogía, el tensor de curvatura de Riemann , del cual la curvatura de Ricci es un subproducto natural, correspondería a la matriz completa de segundas derivadas de una función. Sin embargo, hay otras formas de dibujar la misma analogía.
En la topología tridimensional , el tensor de Ricci contiene toda la información que, en dimensiones superiores, está codificada por el tensor de curvatura de Riemann , que es más complicado . En parte, esta simplicidad permite la aplicación de muchas herramientas geométricas y analíticas, lo que llevó a la solución de la conjetura de Poincaré a través del trabajo de Richard S. Hamilton y Grigory Perelman .
En geometría diferencial, los límites inferiores del tensor de Ricci en una variedad de Riemann permiten extraer información topológica y geométrica global por comparación (cf. teorema de comparación ) con la geometría de una forma espacial de curvatura constante . Esto se debe a que los límites inferiores del tensor de Ricci se pueden utilizar con éxito en el estudio de la longitud funcional en la geometría de Riemann, como se mostró por primera vez en 1941 a través del teorema de Myers .
Una fuente común del tensor de Ricci es que surge cada vez que se conmuta la derivada covariante con el tensor laplaciano. Esto, por ejemplo, explica su presencia en la fórmula de Bochner , que se utiliza de forma ubicua en la geometría de Riemann. Por ejemplo, esta fórmula explica por qué las estimaciones del gradiente debido a Shing-Tung Yau (y sus desarrollos, como las desigualdades de Cheng-Yau y Li-Yau) casi siempre dependen de un límite inferior para la curvatura de Ricci.