En teoría de números , un número de Sierpiński es un número natural impar k tal quees compuesto para todos los números naturales n . En 1960, Wacław Sierpiński demostró que hay un número infinito de enteros impares k que tienen esta propiedad.
En otras palabras, cuando k es un número de Sierpiński, todos los miembros del siguiente conjunto son compuestos:
Si el formulario es en cambio , entonces k es un número de Riesel .
Números de Sierpiński conocidos
La secuencia de números de Sierpiński actualmente conocidos comienza con:
- 78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191567, 25101603, 2517609, 2991567 ... (secuencia A076336 en la OEIS ).
El número 78557 demostró ser un número de Sierpiński por John Selfridge en 1962, quien demostró que todos los números de la forma 78557⋅2 n + 1 tienen un factor en el conjunto de cobertura {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 }. Para otro número de Sierpiński conocido, 271129, el conjunto de cobertura es {3, 5, 7, 13, 17, 241 }. La mayoría de los números de Sierpiński conocidos actualmente poseen conjuntos de cobertura similares. [1]
Sin embargo, en 1995, AS Izotov demostró que se podía demostrar que algunas cuartas potencias eran números de Sierpiński sin establecer un conjunto de cobertura para todos los valores de n . Su demostración depende de la factorización aurifeuilleana t 4 ⋅2 4 m +2 + 1 = ( t 2 ⋅2 2 m +1 + t ⋅2 m +1 + 1) ⋅ ( t 2 ⋅2 2 m +1 - t ⋅ 2 m +1 + 1) . Esto establece que todo n ≡ 2 (mod 4) dan lugar a un compuesto, por lo que queda eliminar solo n ≡ 0, 1, 3 (mod 4) utilizando un conjunto de cobertura. [2]
Problema de Sierpiński
¿Es 78,557 el número más pequeño de Sierpiński?
El problema de Sierpiński pide el valor del número de Sierpiński más pequeño. En correspondencia privada con Paul Erdős , Selfridge conjeturó que 78.557 era el número más pequeño de Sierpiński. [3] No se han descubierto números de Sierpiński más pequeños, y ahora se cree que 78,557 es el número más pequeño. [4]
Para mostrar que 78,557 es realmente el número de Sierpiński más pequeño, se debe demostrar que todos los números impares menores que 78,557 no son números de Sierpiński. Es decir, para cada k impar por debajo de 78,557, debe existir un número entero positivo n tal que k 2 n + 1 sea primo. [1] A febrero de 2021[actualizar], solo hay cinco candidatos que no han sido eliminados como posibles números de Sierpiński: [5]
- k = 21181, 22699, 24737, 55459 y 67607.
El proyecto de computación voluntaria distribuida PrimeGrid está intentando eliminar todos los valores restantes de k . A febrero de 2021[actualizar], no se ha encontrado ningún primo para estos valores de k , con todoshabiendo sido eliminado. [6]
El candidato eliminado más recientemente fue k = 10223, cuando el primofue descubierto por PrimeGrid en octubre de 2016. Este número tiene 9.383.761 dígitos. [5]
Problema de Prime Sierpiński
¿Es 271,129 el número primo más pequeño de Sierpiński?
En 1976, Nathan Mendelsohn determinó que el segundo número de Sierpiński demostrable es el primo k = 271129. El problema de Sierpiński primo pide el valor del número de Sierpiński primo más pequeño , y hay una "búsqueda de Sierpiński principal" en curso que intenta demostrar que 271129 es el primer número de Sierpiński que también es primo. A noviembre de 2018[actualizar], los nueve valores primos de k menores que 271129 para los cuales no se conoce un número primo de la forma k 2 n + 1 son: [7]
- k = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931 y 237019.
A noviembre de 2019[actualizar], no se ha encontrado ningún primo para estos valores de k con. [8]
Los dos primeros, que son menos de 78557, también son casos sin resolver del problema (no principal) de Sierpiński descrito anteriormente. El candidato eliminado más recientemente fue k = 168451, cuando el número primofue descubierto por PrimeGrid en septiembre de 2017. El número tiene 5.832.522 dígitos. [9]
Problema extendido de Sierpiński
¿Es 271,129 el segundo número de Sierpiński?
Suponga que los dos problemas de Sierpiński anteriores se hubieran resuelto finalmente, mostrando que 78557 es el número de Sierpiński más pequeño y que 271129 es el número de Sierpiński primo más pequeño. Esto todavía deja sin resolver la cuestión del segundo número de Sierpinski; podría existir un número k compuesto de Sierpiński tal que. Una búsqueda en curso está tratando de demostrar que 271129 es el segundo número de Sierpiński, probando todos los valores de k entre 78557 y 271129, primos o no.
Resolver el problema extendido de Sierpiński, el más exigente de los tres problemas planteados, requiere la eliminación de los 21 candidatos restantes , de los cuales nueve son primos (ver arriba) y doce son compuestos. Estos últimos incluyen k = 21181, 24737, 55459 del problema original de Sierpiński. A febrero de 2021[actualizar], los siguientes nueve valores de k , únicos para el problema extendido de Sierpiński, permanecen: [10]
- k = 91549, 131179, 163187, 200749, 202705, 209611, 227723, 229673 y 238411.
A diciembre de 2020[actualizar], no se ha encontrado ningún primo para estos valores de k con. [11]
En abril de 2018, PrimeGrid encontró que era primo, eliminando k = 193997. El número tiene una longitud de 3.447.670 dígitos. [12]
La eliminación más reciente fue en diciembre de 2019, cuando PrimeGrid encontró que era primo, eliminando k = 99739. El número tiene 4,220,176 dígitos de longitud. [13]
Simultáneamente Sierpiński y Riesel
Un número puede ser simultáneamente Sierpiński y Riesel . Estos se llaman números de Brier. Los cinco ejemplos más pequeños conocidos son 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949, ... ( A076335 ). [14]
Problema de Dual Sierpinski
Si tomamos n como un número entero negativo, entonces el número k 2 n + 1 se convierte en. Cuando k es impar, esta es una fracción en forma reducida, con numerador 2 | n | + k . Un número de Sierpinski dual se define como un número natural impar k tal que 2 n + k es compuesto para todos los números naturales n . Existe la conjetura de que el conjunto de estos números es el mismo que el conjunto de números de Sierpinski; por ejemplo, 2 n + 78557 es compuesto para todos los números naturales n . [ cita requerida ]
Para valores impares de k, el mínimo n tal que 2 n + k es primo son
- 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 5, 2, ... (secuencia A067760 en la OEIS )
Los valores impares de k para los cuales 2 n + k es compuesto para todo n < k son
Ver también
Referencias
- ^ a b Número de Sierpinski en The Prime Glossary
- ^ Anatoly S. Izotov (1995). "Nota sobre los números de Sierpinski" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 33 (3): 206.
- ^ Erdős, Paul ; Odlyzko, Andrew Michael (1 de mayo de 1979). "Sobre la densidad de números enteros impares de la forma ( p - 1) 2 - ny cuestiones relacionadas" . Revista de teoría de números . Elsevier . 11 (2): 258. doi : 10.1016 / 0022-314X (79) 90043-X . ISSN 0022-314X .
- ^ Guy, Richard Kenneth (2005). Problemas no resueltos en teoría de números . Nueva York: Springer-Verlag . págs. B21: 119–121, F13: 383–385. ISBN 978-0-387-20860-2. OCLC 634701581 .
- ^ a b Diecisiete o busto en PrimeGrid .
- ^ "Diecisiete o estadísticas de busto" . PrimeGrid . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
- ^ Goetz, Michael (10 de julio de 2008). "Sobre el problema de Prime Sierpinski" . PrimeGrid . Consultado el 12 de septiembre de 2019 .
- ^ "Primeras estadísticas del problema de Sierpinski" . PrimeGrid . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
- ^ Zimmerman, Van (29 de septiembre de 2017). "¡Nueva PSP Mega Prime!" . PrimeGrid . Consultado el 12 de septiembre de 2019 .
- ^ Goetz, Michael (6 de abril de 2018). "Bienvenidos al problema extendido de Sierpinski" . PrimeGrid . Consultado el 21 de agosto de 2019 .
- ^ "Estadísticas extendidas del problema de Sierpinski" . www.primegrid.com . Consultado el 6 de abril de 2018 .
- ^ Zimmerman, Van (5 de abril de 2018). "¡ESP Mega Prime!" . www.primegrid.com . Consultado el 6 de abril de 2018 .
- ^ Brown, Scott (13 de enero de 2020). "¡ESP Mega Prime!" . PrimeGrid . Consultado el 18 de enero de 2020 .
- ^ Problema 29.- Números de Brier
Otras lecturas
- Guy, Richard K. (2004), Problemas no resueltos en teoría de números , Nueva York: Springer-Verlag , p. 120, ISBN 0-387-20860-7
enlaces externos
- El problema de Sierpinski: definición y estatus
- Weisstein, Eric W. "Teorema del número compuesto de Sierpinski" . MathWorld .
- Grime, Dr. James. "78557 y Proth Primes" (video) . YouTube . Brady Haran . Consultado el 13 de noviembre de 2017 .