Pirámide (geometría)

Macizo cónico con base poligonal

Este artículo trata sobre pirámides en geometría. Para las estructuras en forma de pirámide, consulte Pirámide . Para otros usos, consulte Pyramid (desambiguación) .

Pirámides derechas de base regular
Notación de poliedro de Conway	Y n
Símbolo de Schläfli	() ∨ { n }
Caras	n triángulos , 1 n -gon
Bordes	2 n
Vértices	n + 1
Grupo de simetría	C n v , [1, n ], (* nn ), orden 2 n
Grupo de rotacion	C n , [1, n ] + , ( nn ), orden n
Poliedro doble	Auto-dual
Propiedades	convexo

El 1- esqueleto de la pirámide es un gráfico de rueda

En geometría , una pirámide es un poliedro formado al conectar una base poligonal y un punto, llamado vértice . Cada borde y vértice de la base forman un triángulo, llamado cara lateral . Es un sólido cónico con base poligonal. Una pirámide con una base de n lados tiene n + 1 vértices, n + 1 caras y 2 n bordes. Todas las pirámides son auto-duales .

Una pirámide recta tiene su vértice directamente sobre el centroide de su base. Las pirámides no rectas se denominan pirámides oblicuas . Una pirámide regular tiene una base de polígono regular y generalmente se supone que es una pirámide recta . ^{[1] [2]}

Cuando no se especifica, generalmente se asume que una pirámide es una pirámide cuadrada regular , como las estructuras piramidales físicas . Una pirámide de base triangular se llama más a menudo tetraedro .

Entre las pirámides oblicuas, como los triángulos agudos y obtusos , una pirámide se puede llamar aguda si su vértice está por encima del interior de la base y obtusa si su vértice está por encima del exterior de la base. Una pirámide en ángulo recto tiene su vértice sobre un borde o vértice de la base. En un tetraedro, estos calificadores cambian en función de qué cara se considera la base.

Las pirámides son una clase de prismatoides . Las pirámides se pueden duplicar en bipirámides agregando un segundo punto de desplazamiento en el otro lado del plano base.

Pirámides derechas con base regular

Una pirámide recta con una base regular tiene lados de un triángulo isósceles, con simetría es C _{n v} o [1, n ], con orden 2 n . Se le puede dar un símbolo de Schläfli extendido () ∨ { n }, que representa un punto, (), unido (desplazamiento ortogonal) a un polígono regular , {n}. Una operación de unión crea una nueva arista entre todos los pares de vértices de las dos figuras unidas. ^[3]

La pirámide trigonal o triangular con todas las caras de los triángulos equiláteros se convierte en el tetraedro regular , uno de los sólidos platónicos . Un caso de simetría inferior de la pirámide triangular es C _3v , que tiene una base de triángulo equilátero y 3 lados de triángulo isósceles idénticos. Las pirámides cuadradas y pentagonales también pueden estar compuestas por polígonos convexos regulares, en cuyo caso son sólidos de Johnson .

Si todos los bordes de una pirámide cuadrada (o cualquier poliedro convexo) son tangentes a una esfera de modo que la posición promedio de los puntos tangenciales están en el centro de la esfera, entonces se dice que la pirámide es canónica y forma la mitad de un octaedro regular .

Las pirámides con un hexágono o una base superior deben estar compuestas por triángulos isósceles. Una pirámide hexagonal con triángulos equiláteros sería una figura completamente plana, y una heptagonal o superior haría que los triángulos no se unieran en absoluto.

Pirámides regulares
Digonal	Triangular	Cuadrado	Pentagonal	Hexagonal	Heptagonal	Octagonal	Eneagonal	Decagonal...
Incorrecto	Regular	Equilátero		Isósceles

Pirámides estelares derechas

Las pirámides rectas con bases de polígono estelar regulares se denominan pirámides estelares . ^[4] Por ejemplo, la pirámide pentagrammica tiene una base de pentagrama y 5 lados de un triángulo que se cruzan.

Pirámides derechas con base irregular

Ejemplo de pirámide derecha general con vértice sobre el centroide de un polígono base

Una pirámide derecha se puede nombrar como () ∨P, donde () es el punto de vértice, ∨ es un operador de unión y P es un polígono base.

Un tetraedro rectángulo de triángulo isósceles se puede escribir como () ∨ [() ∨ {}] como la unión de un punto a la base de un triángulo isósceles , como [() ∨ ()] ∨ {} o {} ∨ {} como el Unir (desplazamientos ortogonales) de dos segmentos ortogonales, un difenoide digonal , que contiene 4 caras de triángulos isósceles. Tiene simetría C _1v de dos orientaciones base-ápice diferentes, y C _2v en su simetría completa.

Una pirámide rectangular recta , escrita como () ∨ [{} × {}], y una pirámide rómbica , como () ∨ [{} + {}], ambas tienen simetría C _2v .

Pirámides derechas

Pirámide rectangular	Pirámide rómbica

Volumen

Ver también: Cono (geometría) - Volumen

El volumen de una pirámide (también cualquier cono) es , donde b es el área de la base y h la altura desde la base hasta el vértice. Esto funciona para cualquier polígono, regular o no regular, y cualquier ubicación del vértice, siempre que h se mida como la distancia perpendicular desde el plano que contiene la base. En 499 d. C. Aryabhata , un matemático - astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias , utilizó este método en el Aryabhatiya (sección 2.6).${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}bh}$

La fórmula se puede probar formalmente mediante cálculo. Por similitud, las dimensiones lineales de una sección transversal paralela a la base aumentan linealmente desde el vértice hasta la base. El factor de escala (factor de proporcionalidad) es , o , donde h es la altura ey es la distancia perpendicular desde el plano de la base a la sección transversal. Puesto que el área de cualquier sección transversal es proporcional al cuadrado de la forma de escalamiento factor de, el área de una sección transversal a la altura y es , o desde ambos b y h son constantes, . El volumen viene dado por la integral${\displaystyle 1-{\tfrac {y}{h}}}$${\displaystyle {\tfrac {h-y}{h}}}$${\displaystyle b{\tfrac {(h-y)^{2}}{h^{2}}}}$${\displaystyle {\tfrac {b}{h^{2}}}(h-y)^{2}}$

${\displaystyle {\frac {b}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-y)^{2}\,dy={\frac {-b}{3h^{2}}}(h-y)^{3}{\bigg |}_{0}^{h}={\tfrac {1}{3}}bh.}$

La misma ecuación`` también se aplica a los conos con cualquier base. Esto se puede probar con un argumento similar al anterior; ver el volumen de un cono .${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}bh}$

Por ejemplo, el volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular de n lados con una longitud de lado s y cuya altura es h es

${\displaystyle V={\frac {n}{12}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.}$

La fórmula también se puede derivar exactamente sin cálculo para pirámides con bases rectangulares. Considere un cubo unitario. Dibuja líneas desde el centro del cubo hasta cada uno de los 8 vértices. Esto divide el cubo en 6 pirámides cuadradas iguales de área de base 1 y altura 1/2. Cada pirámide tiene claramente un volumen de 1/6. De esto deducimos que el volumen de la pirámide = altura × área de la base / 3.

A continuación, expanda el cubo de manera uniforme en tres direcciones por cantidades desiguales de modo que los bordes sólidos rectangulares resultantes son una , b y c , con un volumen sólido abc . Cada una de las 6 pirámides del interior también se amplía. Y cada pirámide tiene el mismo volumen abc / 6. Dado que los pares de pirámides tienen alturas a / 2, b / 2 yc / 2, vemos que el volumen de la pirámide = altura × área de la base / 3 nuevamente.

Cuando los triángulos laterales son equiláteros, la fórmula del volumen es

${\displaystyle V={\frac {1}{12}}ns^{3}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {1-{\frac {1}{4\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}}}.}$

Esta fórmula solo se aplica para n = 2, 3, 4 y 5; y también cubre el caso n = 6, para el cual el volumen es igual a cero (es decir, la altura de la pirámide es cero). ^{[ cita requerida ]}

Superficie

El área de la superficie de una pirámide es , donde B es el área de la base, P es el perímetro de la base y la altura inclinada , donde h es la altura de la pirámide yr es el radio interno de la base.${\displaystyle A=B+{\tfrac {PL}{2}}}$ ${\displaystyle L={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}$

Centroide

El centroide de una pirámide se encuentra en el segmento de línea que conecta el vértice con el centroide de la base. Para una pirámide sólida, el centroide es 1/4 de la distancia desde la base hasta el vértice.

pirámides n- dimensionales

Una pirámide bidimensional es un triángulo, formado por un borde de base conectado a un punto no colineal llamado vértice .

Una pirámide de 4 dimensiones se llama pirámide poliédrica , construida por un poliedro en un hiperplano de 3 espacios de 4 espacios con otro punto fuera de ese hiperplano.

Las pirámides de dimensiones superiores se construyen de manera similar.

La familia de simples representa pirámides en cualquier dimensión, aumentando desde triángulo , tetraedro , 5 celdas , 5 simplex , etc. Un simplex n-dimensional tiene el mínimo de n + 1 vértices , con todos los pares de vértices conectados por aristas , todos triples de vértices que definen caras, todos los cuádruples de puntos que definen celdas tetraédricas , etc.

Pirámide poliédrica

En geometría de 4 dimensiones , una pirámide poliédrica es un politopo 4 construido por una celda de poliedro base y un punto de vértice . Las facetas laterales son celdas piramidales, cada una construida por una cara del poliedro base y el ápice. Los vértices y los bordes de las pirámides poliédricas forman ejemplos de gráficos de vértice , gráficos formados al agregar un vértice (el vértice) a un gráfico plano (el gráfico de la base).

El 5-celdas regular (o 4- simplex ) es un ejemplo de una pirámide tetraédrica . Los poliedros uniformes con circunradios inferiores a 1 pueden formar pirámides poliédricas con lados tetraédricos regulares. Un poliedro con vértices v , aristas e y caras f puede ser la base de una pirámide poliédrica con vértices v + 1 , aristas e + v , caras f + e y celdas 1 + f .

Una pirámide poliédrica 4D con simetría axial se puede visualizar en 3D con un diagrama de Schlegel, una proyección 3D que coloca el vértice en el centro del poliedro base.

Pirámides equiláteras uniformes basadas en poliedros ( diagrama de Schlegel )

Simetría	[1,1,4]	[1,2,3]	[1,3,3]	[1,4,3]		[1,5,3]
Nombre	Pirámide piramidal cuadrada	Pirámide de prisma triangular	Pirámide tetraédrica	Pirámide cúbica	Pirámide octaédrica	Pirámide icosaédrica
Índice de segmentochora [5]	K4.4	K4.7	K4.1	K4.26.1	K4.3	K4.84
Altura	0,707107	0,790569	0,790569	0.500000	0,707107	0.309017
Imagen (base)
Base	Pirámide cuadrada	Prisma triangular	Tetraedro	Cubo	Octaedro	Icosaedro

Cualquier 4-politopo convexo se puede dividir en pirámides poliédricas agregando un punto interior y creando una pirámide desde cada faceta hasta el punto central. Esto puede resultar útil para calcular volúmenes.

El hipervolumen de 4 dimensiones de una pirámide poliédrica es 1/4 del volumen del poliedro base multiplicado por su altura perpendicular, en comparación con el área de un triángulo siendo 1/2 de la longitud de la base multiplicada por la altura y el volumen de una pirámide. siendo 1/3 del área de la base por la altura.

Ver también

• Bipirámide
• Cono (geometría)
• Pirámide trigonal (química)
• Tronco

Referencias

1. William F. Kern, James R Bland, Medición sólida con pruebas , 1938, p. 46
2. Libro de bolsillo de ingenieros civiles: un libro de referencia para ingenieros Archivado el 25 de febrero de 2018 en la Wayback Machine.
3. NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finita , 11.3 Pirámides, prismas y antiprismas
4. Wenninger, Magnus J. (1974), Modelos de poliedros , Cambridge University Press, p. 50, ISBN 978-0-521-09859-5, archivado desde el original el 11 de diciembre de 2013.
5. Convex Segmentochora Archivado el 19 de abril de 2014 en la Wayback Machine Dr. Richard Klitzing, Symmetry: Culture and Science, Vol. 11, Nos. 1–4, 139–181, 2000

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con las pirámides (geometría) .

• Weisstein, Eric W. "Pirámide" . MathWorld .