En matemáticas , particularmente en topología algebraica , el n -esqueleto de un espacio topológico X presentado como un complejo simplicial (resp. Complejo CW ) se refiere al subespacio X n que es la unión de los simples de X (resp. Células de X ) de dimensiones m ≤ n . En otras palabras, dada una definición inductiva de un complejo, el n- esqueleto se obtiene deteniéndose en el n -ésimo paso .
- Este artículo no trata sobre el concepto de esqueleto topológico de los gráficos por computadora.
Estos subespacios aumentan con n . El esqueleto 0 es un espacio discreto y el esqueleto 1 es un gráfico topológico . Los esqueletos de un espacio se utilizan en la teoría de la obstrucción , para construir secuencias espectrales mediante filtraciones y, en general, para realizar argumentos inductivos . Son particularmente importantes cuando X tiene dimensión infinita, en el sentido de que X n no se vuelve constante cuando n → ∞.
En geometría
En geometría , un k -esqueleto de n - politopo P (representado funcionalmente como skel k ( P )) consta de todos los elementos de i -politopo de dimensión hasta k . [1]
Por ejemplo:
- skel 0 (cubo) = 8 vértices
- skel 1 (cubo) = 8 vértices, 12 aristas
- skel 2 (cubo) = 8 vértices, 12 aristas, 6 caras cuadradas
Para conjuntos simpliciales
La definición anterior del esqueleto de un complejo simplicial es un caso particular de la noción de esqueleto de un conjunto simplicial . En pocas palabras, un conjunto simplicial puede ser descrito por una colección de conjuntos , junto con mapas faciales y de degeneración entre ellos que satisfacen una serie de ecuaciones. La idea del n- esqueleto es descartar primero los conjuntos con y luego para completar la colección de con al conjunto simplicial "más pequeño posible" de modo que el conjunto simplicial resultante no contenga simples no degenerados en grados .
Más precisamente, el functor de restricción
tiene un adjunto izquierdo, denotado . [2] (Las notacionesson comparables con el de los functores de imagen para las poleas .) El n -esqueleto de algún conjunto simplicial Se define como
Coskeleton
Es más, tiene un derecho adjunto. El n -coesqueleto se define como
Por ejemplo, el esqueleto 0 de K es el conjunto simplicial constante definido por. El cosqueleto 0 está dado por el nervio de Cech
(Los morfismos de frontera y degeneración vienen dados por varias proyecciones e incrustaciones diagonales, respectivamente).
Las construcciones anteriores también funcionan para categorías más generales (en lugar de conjuntos), siempre que la categoría tenga productos de fibra . El cosqueleto es necesario para definir el concepto de hipercubrimiento en álgebra homotópica y geometría algebraica . [3]
Referencias
- ^ Peter McMullen , Egon Schulte , Polytopes regulares abstractos, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (página 29)
- ^ Goerss, PG; Jardine, JF (1999), Teoría de la homotopía simple , Progreso en matemáticas, 174 , Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, sección IV.3.2
- ^ Artin, Michael ; Mazur, Barry (1969), Etale homotopy , Lecture Notes in Mathematics, No. 100, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag