Espacio analítico rígido
Tate m'a écrit de son côté sur ses histoires de courbes elliptiques, et pour me demander si j'avais des idées sur une definición globale des variétés analytiques sur des corps complets. Je dois avouer que je n'ai pas du tout compris pourquoi ses résultats suggéreraient l'existence d'une telle definición, et suis encore sceptique.
Alexander Grothendieck en una carta del 18 de agosto de 1959 a Jean-Pierre Serre , expresando escepticismo sobre la existencia de la teoría de variedades analíticas globales de John Tate sobre campos completos.
En matemáticas, un espacio analítico rígido es un análogo de un espacio analítico complejo sobre un campo no arquimediano . Tales espacios fueron introducidos por John Tate en 1962, como consecuencia de su trabajo sobre la uniformización de curvas elípticas p -ádicas con mala reducción utilizando el grupo multiplicativo . En contraste con la teoría clásica de las variedades analíticas p -ádicas , los espacios analíticos rígidos admiten nociones significativas de continuidad y conexión analíticas .
El objeto analítico rígido básico es el polidisco unitario n - dimensional , cuyo anillo de funciones es el álgebra de Tate , hecho de series de potencias en n variables cuyos coeficientes se aproximan a cero en algún campo k no arquimediano completo . El álgebra de Tate es la terminación del anillo polinomial en n variables bajo la norma de Gauss (tomando el supremo de los coeficientes), y el polidisco juega un papel análogo al del espacio n afín en la geometría algebraica . Los puntos en el polidisco se definen como ideales maximales en el álgebra de Tate, y si k es algebraicamente cerrado , estos corresponden a puntos en cuyas coordenadas tienen norma a lo sumo uno.
Un álgebra afinoide es un álgebra de k - Banach que es isomorfa a un cociente del álgebra de Tate por un ideal . Un afinoide es entonces un subconjunto del polidisco unitario en el que se desvanecen los elementos de este ideal, es decir, es el conjunto de ideales maximales que contiene el ideal en cuestión. La topología sobre afinoides es sutil, utilizando nociones de subdominios afines (que satisfacen una propiedad de universalidad con respecto a mapas de álgebras afines) y conjuntos abiertos admisibles (que satisfacen una condición de finitud para coberturas por subdominios afines). De hecho, las aperturas admisibles en un afinoide no lo dotan en general de la estructura de un espacio topológico, pero forman una topología de Grothendieck (llamada topología G ), y esto permite definir buenas nociones de poleas y pegado de espacios.
Un espacio analítico rígido sobre k es un par que describe un espacio G -topologizado localmente anillado con un haz de k - álgebras, de modo que hay una cubierta por subespacios abiertos isomorfos a los afinoides. Esto es análogo a la noción de variedades que se pueden cubrir con subconjuntos abiertos isomórficos al espacio euclidiano, o esquemas que se pueden cubrir con afines. Los esquemas sobre k se pueden analizar funcionalmente, al igual que las variedades sobre los números complejos se pueden ver como espacios analíticos complejos, y existe un teorema GAGA formal análogo. El funtor de análisis respeta límites finitos.
