En la teoría matemática del nudo , el enlace de Hopf es el enlace no trivial más simple con más de un componente. [1] Consiste en dos círculos unidos exactamente una vez, [2] y lleva el nombre de Heinz Hopf . [3]
Longitud de la trenza | 2 |
---|---|
Trenza no. | 2 |
Cruce no. | 2 |
Volumen hiperbólico | 0 |
Vinculando no. | 1 |
Stick no. | 6 |
Desanudando no. | 1 |
Notación de Conway | [2] |
Notación A – B | 22 1 |
Thistlethwaite | L2a1 |
Último / Siguiente | L0 / L4a1 |
Otro | |
alternante , toro , fibroso |
Realización geométrica
Un modelo concreto consta de dos círculos unitarios en planos perpendiculares, cada uno pasando por el centro del otro. [2] Este modelo minimiza la longitud del cable del enlace y hasta 2002 el enlace Hopf era el único enlace cuya longitud del cable se conocía. [4] El casco convexo de estos dos círculos forma una forma llamada oloide . [5]
Propiedades
Dependiendo de las orientaciones relativas de los dos componentes, el número de enlace del enlace Hopf es ± 1. [6]
El enlace Hopf es un enlace (2,2) - toro [7] con la palabra trenzada [8]
El complemento de nudos del enlace de Hopf es R × S 1 × S 1 , el cilindro sobre un toro . [9] Este espacio tiene una geometría euclidiana local , por lo que el enlace de Hopf no es un enlace hiperbólico . El grupo de nudos del enlace de Hopf (el grupo fundamental de su complemento) es Z 2 (el grupo abeliano libre en dos generadores), lo que lo distingue de un par de bucles no vinculados que tiene el grupo libre en dos generadores como su grupo. [10]
El enlace Hopf no es tricolorable. Esto se ve fácilmente por el hecho de que el enlace solo puede tomar dos colores, lo que lo lleva a fallar en la segunda parte de la definición de tricolor. En cada cruce, tomará un máximo de 2 colores. Así, si satisface la regla de tener más de 1 color, falla la regla de tener 1 o 3 colores en cada cruce. Si satisface la regla de tener 1 o 3 colores en cada cruce, fallará la regla de tener más de 1 color.
Paquete Hopf
La fibración de Hopf es una función continua desde la 3-esfera (una superficie tridimensional en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones) hacia la más familiar 2-esfera , con la propiedad de que la imagen inversa de cada punto en la 2-esfera es una circulo. Por lo tanto, estas imágenes descomponen las 3 esferas en una familia continua de círculos, y cada dos círculos distintos forman un enlace de Hopf. Esta fue la motivación de Hopf para estudiar el vínculo de Hopf: debido a que cada dos fibras están unidas, la fibración de Hopf es una fibración no trivial . Este ejemplo inició el estudio de grupos homotópicos de esferas . [11]
Biología
El enlace Hopf también está presente en algunas proteínas. [12] [13] Consiste en dos bucles covalentes, formados por trozos de estructura proteica , cerrados con enlaces disulfuro . La topología del enlace de Hopf está altamente conservada en proteínas y aumenta su estabilidad. [12]
Historia
El enlace de Hopf lleva el nombre del topólogo Heinz Hopf , quien lo consideró en 1931 como parte de su investigación sobre la fibración de Hopf . [14] Sin embargo, en matemáticas, Carl Friedrich Gauss lo conocía antes del trabajo de Hopf. [3] También se ha utilizado durante mucho tiempo fuera de las matemáticas, por ejemplo, como la cresta de Buzan-ha , una secta budista japonesa fundada en el siglo XVI.
Ver también
- Anillos borromeos , un enlace con tres bucles cerrados
- Catenane , una molécula con dos bucles enlazados
- El nudo de Salomón , dos lazos doblemente enlazados
Referencias
- ^ Adams, Colin Conrad (2004), The Knot Book: Una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos , American Mathematical Society, p. 151, ISBN 9780821836781.
- ^ a b Kusner, Robert B .; Sullivan, John M. (1998), "Sobre la distorsión y el grosor de los nudos", Topología y geometría en la ciencia de los polímeros (Minneapolis, MN, 1996) , IMA Vol. Matemáticas. Appl., 103 , Nueva York: Springer, págs. 67–78, doi : 10.1007 / 978-1-4612-1712-1_7 , MR 1655037. Ver en particular la p. 77 .
- ^ a b Prasolov, VV; Sossinsky, AB (1997), Nudos, eslabones, trenzas y tres variedades: una introducción a los nuevos invariantes en la topología de baja dimensión , Translations of Mathematical Monographs, 154 , Providence, RI: American Mathematical Society, p. 6, ISBN 0-8218-0588-6, Señor 1414898.
- ^ Cantarella, Jason; Kusner, Robert B .; Sullivan, John M. (2002), "Sobre la longitud mínima de cuerda de nudos y enlaces", Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math / 0103224 , Bibcode : 2002InMat.150..257C , doi : 10.1007 / s00222-002-0234-y , MR 1933586.
- ^ Dirnböck, Hans; Stachel, Hellmuth (1997), "El desarrollo del oloide" (PDF) , Journal for Geometry and Graphics , 1 (2): 105-118, MR 1622664.
- ^ Adams (2004) , p. 21 .
- ^ Kauffman, Louis H. (1987), On Knots , Annals of Mathematics Studies, 115 , Princeton University Press, pág. 373, ISBN 9780691084350.
- ^ Adams (2004) , ejercicio 5.22, p. 133 .
- ^ Turaev, Vladimir G. (2010), Invariantes cuánticos de nudos y tres variedades , Estudios de De Gruyter en matemáticas, 18 , Walter de Gruyter, p. 194, ISBN 9783110221831.
- ^ Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , pág. 24, ISBN 9787302105886.
- ^ Shastri, Anant R. (2013), Topología algebraica básica , CRC Press, p. 368, ISBN 9781466562431.
- ^ a b Dabrowski-Tumanski, Pawel; Sulkowska, Joanna I. (28 de marzo de 2017). "Nudos y enlaces topológicos en proteínas" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 114 (13): 3415–3420. doi : 10.1073 / pnas.1615862114 . ISSN 0027-8424 . PMC 5380043 . PMID 28280100 .
- ^ Dabrowski-Tumanski, Pawel; Jarmolinska, Aleksandra I .; Niemyska, Wanda; Rawdon, Eric J .; Millett, Kenneth C .; Sulkowska, Joanna I. (4 de enero de 2017). "LinkProt: una base de datos que recopila información sobre enlaces biológicos" . Investigación de ácidos nucleicos . 45 (D1): D243 – D249. doi : 10.1093 / nar / gkw976 . ISSN 0305-1048 . PMC 5210653 . PMID 27794552 .
- ^ Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche" , Mathematische Annalen , Berlín: Springer , 104 (1): 637–665, doi : 10.1007 / BF01457962.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Hopf Link" . MathWorld .
- " Enlace Hopf ", The Knot Atlas .
- "LinkProt": la base de datos de enlaces de proteínas conocidos.