En geometría , un plano de rotación es un objeto abstracto que se utiliza para describir o visualizar rotaciones en el espacio. En tres dimensiones es una alternativa al eje de rotación , pero a diferencia del eje de rotación se puede utilizar en otras dimensiones, como dos , cuatro o más dimensiones.
Matemáticamente, estos planos se pueden describir de varias formas. Pueden describirse en términos de planos y ángulos de rotación . Pueden asociarse con bivectores del álgebra geométrica . Están relacionados con los autovalores y autovectores de una matriz de rotación . Y en dimensiones particulares se relacionan con otras propiedades algebraicas y geométricas, que luego se pueden generalizar a otras dimensiones.
Los planos de rotación no se usan mucho en dos y tres dimensiones, ya que en dos dimensiones solo hay un plano, por lo que identificar el plano de rotación es trivial y rara vez se hace, mientras que en tres dimensiones el eje de rotación tiene el mismo propósito y es más enfoque establecido. Su uso principal es describir rotaciones más complejas en dimensiones más altas , donde se pueden usar para dividir las rotaciones en partes más simples. Esto se puede hacer usando álgebra geométrica , con los planos de rotaciones asociados con bivectores simples en el álgebra. [1]
Definiciones
Avión
Para este artículo, todos los planos son planos que pasan por el origen , es decir, contienen el vector cero . Tal plano en el espacio n -dimensional es un subespacio lineal bidimensional del espacio. Está completamente especificado por dos vectores distintos de cero y no paralelos que se encuentran en el plano, es decir, por dos vectores a y b cualesquiera , de manera que
donde ∧ es el producto exterior de álgebra exterior o álgebra geométrica (en tres dimensiones se puede usar el producto cruzado ). Más precisamente, la cantidad de un ∧ b es el bivector asociada con el plano especificado por un y b , y tiene magnitud | a | | b | sin φ , donde φ es el ángulo entre los vectores; de ahí el requisito de que los vectores sean distintos de cero y no paralelos. [2]
Si el bivector a ∧ b se escribe B , entonces la condición de que un punto se encuentre en el plano asociado con B es simplemente [3]
Esto es cierto en todas las dimensiones y puede tomarse como definición en el plano. En particular, a partir de las propiedades del producto exterior que es satisfecha por tanto un y b , y así por cualquier vector de la forma
con números reales λ y μ . Como λ y μ abarcan todos los números reales, c varía en todo el plano, por lo que esto puede tomarse como otra definición del plano.
Plano de rotacion
Un plano de rotación para una rotación particular es un plano que se asigna a sí mismo mediante la rotación. El plano no es fijo, pero todos los vectores en el plano se asignan a otros vectores en el mismo plano mediante la rotación. Esta transformación del plano a sí mismo es siempre una rotación sobre el origen, a través de un ángulo que es el ángulo de rotación del plano.
Cada rotación, excepto la rotación de identidad (con matriz la matriz de identidad ) tiene al menos un plano de rotación, y hasta
planos de rotación, donde n es la dimensión. En esta tabla se muestra el número máximo de planos hasta ocho dimensiones:
Dimensión 2 3 4 5 6 7 8 Numero de aviones 1 1 2 2 3 3 4
Cuando una rotación tiene múltiples planos de rotación, siempre son ortogonales entre sí, con solo el origen en común. Ésta es una condición más fuerte que decir que los planos están en ángulos rectos ; en cambio, significa que los planos no tienen vectores distintos de cero en común, y que cada vector en un plano es ortogonal a cada vector en el otro plano. Esto solo puede suceder en cuatro o más dimensiones. En dos dimensiones solo hay un plano, mientras que en tres dimensiones todos los planos tienen al menos un vector distinto de cero en común, a lo largo de su línea de intersección . [4]
En más de tres dimensiones, los planos de rotación no siempre son únicos. Por ejemplo, el negativo de la matriz identidad en cuatro dimensiones (la inversión central ),
describe una rotación en cuatro dimensiones en la que cada plano que pasa por el origen es un plano de rotación que forma un ángulo π , por lo que cualquier par de planos ortogonales genera la rotación. Pero para una rotación general, al menos teóricamente es posible identificar un conjunto único de planos ortogonales, en cada uno de los cuales los puntos giran en un ángulo, por lo que el conjunto de planos y ángulos caracterizan completamente la rotación. [5]
Dos dimensiones
En el espacio bidimensional solo hay un plano de rotación, el plano del espacio mismo. En un sistema de coordenadas cartesianas es el plano cartesiano, en números complejos es el plano complejo . Por tanto, cualquier rotación es de todo el plano, es decir, del espacio, manteniendo solo el origen fijo. Se especifica completamente por el ángulo de rotación con signo, en el rango, por ejemplo, π a π . Entonces, si el ángulo es θ, la rotación en el plano complejo viene dada por la fórmula de Euler :
mientras que la rotación en un plano cartesiano viene dada por la matriz de rotación 2 × 2 : [6]
Tres dimensiones
En el espacio tridimensional hay un número infinito de planos de rotación, de los cuales solo uno está involucrado en una rotación determinada. Es decir, para una rotación general hay precisamente un plano que le está asociado o en el que tiene lugar la rotación. La única excepción es la rotación trivial, correspondiente a la matriz identidad, en la que no se produce ninguna rotación.
En cualquier rotación en tres dimensiones siempre hay un eje fijo, el eje de rotación. La rotación se puede describir dando este eje, con el ángulo a través del cual la rotación gira alrededor de él; esta es la representación del ángulo del eje de una rotación. El plano de rotación es el plano ortogonal a este eje, por lo que el eje es una superficie normal del plano. Luego, la rotación gira este plano en el mismo ángulo que gira alrededor del eje, es decir, todo en el plano gira en el mismo ángulo con respecto al origen.
Se muestra un ejemplo en el diagrama, donde la rotación tiene lugar alrededor del eje z . El plano de rotación es el plano xy , por lo que todo en ese plano se mantuvo en el plano por la rotación. Esto podría describirse mediante una matriz como la siguiente, con la rotación en un ángulo θ (alrededor del eje o en el plano):
Otro ejemplo es la rotación de la Tierra . El eje de rotación es la línea que une el Polo Norte y el Polo Sur y el plano de rotación es el plano que pasa por el ecuador entre los hemisferios norte y sur . Otros ejemplos incluyen dispositivos mecánicos como un giroscopio o un volante que almacenan energía de rotación en masa, generalmente a lo largo del plano de rotación.
En cualquier rotación tridimensional, el plano de rotación se define de forma única. Junto con el ángulo de rotación, describe completamente la rotación. O en un objeto en rotación continua, las propiedades de rotación, como la velocidad de rotación, se pueden describir en términos del plano de rotación. Es perpendicular a, por lo que se define y define, un eje de rotación, por lo que cualquier descripción de una rotación en términos de un plano de rotación puede describirse en términos de un eje de rotación, y viceversa. Pero a diferencia del eje de rotación, el plano se generaliza en otras dimensiones, en particular superiores. [7]
Cuatro dimensiones
Una rotación general en un espacio de cuatro dimensiones tiene un solo punto fijo, el origen. Por tanto, no se puede utilizar un eje de rotación en cuatro dimensiones. Pero se pueden usar planos de rotación, y cada rotación no trivial en cuatro dimensiones tiene uno o dos planos de rotación.
Rotaciones simples
Una rotación con un solo plano de rotación es una rotación simple . En una rotación simple hay un plano fijo, y se puede decir que la rotación tiene lugar alrededor de este plano, por lo que los puntos a medida que giran no cambian su distancia desde este plano. El plano de rotación es ortogonal a este plano y se puede decir que la rotación tiene lugar en este plano.
Por ejemplo, la siguiente matriz fija el plano xy : los puntos en ese plano y solo en ese plano no cambian. El plano de rotación es el zw un plano, los puntos en este plano se hacen girar a través de un ángulo θ . A gira de puntos generales sólo en el zw un plano, que es que gira alrededor de la xy un plano cambiando sólo su z y w coordenadas.
En dos y tres dimensiones, todas las rotaciones son simples, ya que tienen un solo plano de rotación. Solo en cuatro y más dimensiones hay rotaciones que no son simples rotaciones. En particular, en cuatro dimensiones también hay rotaciones dobles e isoclínicas.
Rotaciones dobles
En una doble rotación hay dos planos de rotación, no planos fijos y el único punto fijo es el origen. Se puede decir que la rotación tiene lugar en ambos planos de rotación, ya que los puntos en ellos giran dentro de los planos. Estos planos son ortogonales, es decir, no tienen vectores en común, por lo que cada vector en un plano forma ángulos rectos con todos los vectores en el otro plano. Los dos planos de rotación abarcan un espacio de cuatro dimensiones, por lo que cada punto del espacio se puede especificar mediante dos puntos, uno en cada uno de los planos.
Una doble rotación tiene dos ángulos de rotación, uno para cada plano de rotación. La rotación se especifica dando los dos planos y dos ángulos distintos de cero, α y β (si cualquiera de los ángulos es cero, la rotación es simple). Los puntos del primer plano giran a través de α , mientras que los puntos del segundo plano giran a través de β . Todos los demás puntos giran en un ángulo entre α y β , por lo que, en cierto sentido, juntos determinan la cantidad de rotación. Para una doble rotación general, los planos de rotación y los ángulos son únicos y, dada una rotación general, se pueden calcular. Por ejemplo una rotación de α en el xy un plano y β en el zw un plano está dada por la matriz
Rotaciones isoclínicas
Un caso especial de doble rotación es cuando los ángulos son iguales, es decir, si α = β ≠ 0 . Esto se denomina rotación isoclínica y se diferencia de una doble rotación general en varias formas. Por ejemplo, en una rotación isoclínica, todos los puntos distintos de cero giran en el mismo ángulo, α . Lo más importante es que los planos de rotación no se identifican de forma única. En cambio, hay un número infinito de pares de planos ortogonales que pueden tratarse como planos de rotación. Por ejemplo, se puede tomar cualquier punto y el plano en el que gira junto con el plano ortogonal al mismo se pueden usar como dos planos de rotación. [8]
Mayores dimensiones
Como ya se señaló, el número máximo de planos de rotación en n dimensiones es
por lo que la complejidad aumenta rápidamente con más de cuatro dimensiones y categorizar las rotaciones como se indicó anteriormente se vuelve demasiado complejo para ser práctico, pero se pueden hacer algunas observaciones.
Las rotaciones simples se pueden identificar en todas las dimensiones, como rotaciones con un solo plano de rotación. Una rotación simple en n dimensiones tiene lugar alrededor (es decir, a una distancia fija de) un subespacio ( n - 2) dimensional ortogonal al plano de rotación.
Una rotación general no es simple y tiene el número máximo de planos de rotación como se indicó anteriormente. En el caso general, los ángulos de rotación en estos planos son distintos y los planos están definidos de forma única. Si alguno de los ángulos es el mismo, entonces los planos no son únicos, como en cuatro dimensiones con rotación isoclínica.
En dimensiones pares ( n = 2, 4, 6 ... ) hay hastanorte/2Los planos de rotación abarcan el espacio, por lo que una rotación general rota todos los puntos excepto el origen, que es el único punto fijo. En dimensiones impares ( n = 3, 5, 7, ... ) hayn - 1/2planos y ángulos de rotación, lo mismo que la dimensión par uno inferior. Estos no abarcan el espacio, sino que dejan una línea que no gira, como el eje de rotación en tres dimensiones, excepto que las rotaciones no tienen lugar alrededor de esta línea sino en múltiples planos ortogonales a ella. [1]
Propiedades matematicas
Los ejemplos dados anteriormente se eligieron por ser ejemplos claros y simples de rotaciones, con planos generalmente paralelos a los ejes de coordenadas en tres y cuatro dimensiones. Pero este no es el caso en general: los planos no suelen ser paralelos a los ejes y las matrices no se pueden escribir simplemente. En todas las dimensiones las rotaciones están completamente descritas por los planos de rotación y sus ángulos asociados, por lo que es útil poder determinarlos, o al menos encontrar formas de describirlos matemáticamente.
Reflexiones
Cada rotación simple puede generarse mediante dos reflexiones . Las reflexiones se pueden especificar en n dimensiones dando un subespacio ( n - 1) -dimensional para reflejar, por lo que una reflexión bidimensional está en una línea, una reflexión tridimensional está en un plano, y así sucesivamente. Pero esto se vuelve cada vez más difícil de aplicar en dimensiones más altas, por lo que es mejor usar vectores en su lugar, de la siguiente manera.
Una reflexión en n dimensiones se especifica mediante un vector perpendicular al subespacio ( n - 1) dimensional. Para generar rotaciones simples solo se necesitan reflejos que fijen el origen, por lo que el vector no tiene una posición, solo una dirección. Tampoco importa en qué dirección se mire: se puede reemplazar con su negativo sin cambiar el resultado. De manera similar , se pueden usar vectores unitarios para simplificar los cálculos.
Entonces, la reflexión en un espacio ( n - 1) -dimensional está dada por el vector unitario perpendicular a él, m , así:
donde el producto es el producto geométrico del álgebra geométrica .
Si x ′ se refleja en otro espacio ( n - 1) dimensional distinto, descrito por un vector unitario n perpendicular a él, el resultado es
Esta es una rotación simple en n dimensiones, a través de dos veces el ángulo entre los subespacios, que también es el ángulo entre los vectores m y n . Puede comprobarse mediante álgebra geométrica que se trata de una rotación y que rota todos los vectores como se esperaba.
La cantidad mn es un rotor y nm es su inverso como
Entonces la rotación se puede escribir
donde R = mn es el rotor.
El plano de rotación es el plano que contiene m y n , que debe ser distinto de lo contrario las reflexiones son los mismos y no hay rotación tiene lugar. Como cualquiera de los vectores puede ser reemplazado por su negativo, el ángulo entre ellos siempre puede ser agudo, o como mucho π/2. La rotación es a través del doble del ángulo entre los vectores, hasta π o media vuelta. El sentido de la rotación es rotar de m hacia n : el producto geométrico no es conmutativo por lo que el producto nm es la rotación inversa, con sentido de n a m .
A la inversa, todas las rotaciones simples se pueden generar de esta manera, con dos reflexiones, mediante dos vectores unitarios en el plano de rotación separados por la mitad del ángulo de rotación deseado. Estos se pueden componer para producir rotaciones más generales, usando hasta n reflexiones si la dimensión n es par, n - 2 si n es impar, eligiendo pares de reflexiones dadas por dos vectores en cada plano de rotación. [9] [10]
Bivectores
Los bivectores son cantidades del álgebra geométrica , el álgebra de Clifford y el álgebra exterior , que generalizan la idea de vectores en dos dimensiones. Así como los vectores son para las líneas, también lo son los bivectores para los planos. Entonces, cada plano (en cualquier dimensión) se puede asociar con un bivector, y cada bivector simple está asociado con un plano. Esto los convierte en una buena opción para describir planos de rotación.
Cada plano de rotación en una rotación tiene un bivector simple asociado. Este es paralelo al plano y tiene una magnitud igual al ángulo de rotación en el plano. Estos bivectores se suman para producir un bivector único, generalmente no simple, para toda la rotación. Esto puede generar un rotor a través del mapa exponencial , que se puede utilizar para rotar un objeto.
Los bivectores se relacionan con los rotores a través del mapa exponencial (que aplicado a los bivectores genera rotores y rotaciones utilizando la fórmula de De Moivre ). En particular, dado cualquier bivector B, el rotor asociado con él es
Esta es una rotación simple si el bivector es simple, una rotación más general en caso contrario. Cuando está al cuadrado,
da un rotor que gira el doble del ángulo. Si B es simple, entonces esta es la misma rotación que la generada por dos reflexiones, ya que el producto mn da una rotación a través del doble del ángulo entre los vectores. Estos pueden equipararse,
de la que se deduce que la bivector asociado con el plano de rotación que contiene m y n que gira m a n es
Este es un bivector simple, asociado con la rotación simple descrita. Las rotaciones más generales en cuatro o más dimensiones están asociadas con sumas de bivectores simples, una para cada plano de rotación, calculadas como se indicó anteriormente.
Los ejemplos incluyen las dos rotaciones en cuatro dimensiones dadas anteriormente. La rotación simple en el zw un plano en un ángulo θ tiene bivector e 34 θ , un bivector simple. La doble rotación por α y β en el xy un plano y zw -planes tiene bivector e 12 α + e 34 β , la suma de dos bivectores simples ae 12 α y e 34 β que son paralelos a los dos planos de rotación y tienen magnitudes iguales a los ángulos de rotación.
Dado un rotor, el bivector asociado con él se puede recuperar tomando el logaritmo del rotor, que luego se puede dividir en bivectores simples para determinar los planos de rotación, aunque en la práctica para todos los casos, excepto el más simple, esto puede no ser práctico. Pero dados los bivectores simples, el álgebra geométrica es una herramienta útil para estudiar planos de rotación usando álgebra como la anterior. [1] [11]
Valores propios y planos propios
Los planos de rotaciones para una rotación particular utilizando los valores propios . Dada una matriz de rotación general en n dimensiones, su ecuación característica tiene una (en dimensiones impares) o cero (en dimensiones pares) raíces reales. Las otras raíces están en pares conjugados complejos, exactamente
tales pares. Estos corresponden a los planos de rotación, los planos propios de la matriz, que se pueden calcular mediante técnicas algebraicas. Además, los argumentos de las raíces complejas son las magnitudes de los bivectores asociados con los planos de rotaciones. La forma de la ecuación característica está relacionada con los planos, lo que permite relacionar sus propiedades algebraicas como raíces repetidas con los bivectores, donde las magnitudes bivector repetidas tienen interpretaciones geométricas particulares. [1] [12]
Ver también
- Gráficos sobre SO (3)
- Rotación de Givens
- Cuaterniones
- Grupo de rotación SO (3)
- Rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones
Notas
- ^ a b c d Lounesto (2001) págs. 222–223
- ^ Lounesto (2001) p. 38
- ^ Hestenes (1999) p. 48
- ^ Lounesto (2001) p. 222
- ↑ Lounesto (2001) p.87
- ^ Lounesto (2001) págs. 27-28
- ^ Hestenes (1999) págs. 280–284
- ^ Lounesto (2001) págs. 83–89
- ^ Lounesto (2001) p. 57–58
- ^ Hestenes (1999) p. 278–280
- ^ Dorst, Doran, Lasenby (2002) págs. 79–89
- ^ Dorst, Doran, Lasenby (2002) págs. 145-154
Referencias
- Hestenes, David (1999). Nuevos fundamentos para la mecánica clásica (2ª ed.). Kluwer . ISBN 0-7923-5302-1.
- Lounesto, Pertti (2001). Álgebras y espinores de Clifford . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-00551-7.
- Dorst, Leo; Doran, Chris; Lasenby, Joan (2002). Aplicaciones del álgebra geométrica en informática e ingeniería . Birkhäuser . ISBN 0-8176-4267-6.