Un rotor es un objeto en el álgebra geométrica de un espacio vectorial (también llamado álgebra de Clifford ) que representa una rotación alrededor del origen . [1] El término se originó con William Kingdon Clifford , [2] al mostrar que el álgebra de cuaterniones es solo un caso especial de la "teoría de la extensión" de Hermann Grassmann (Ausdehnungslehre). [3] Hestenes [4] definió un rotor como cualquier elemento. de un álgebra geométrica que se puede escribir como el producto de un número par de vectores unitarios y satisface , dónde es el "reverso" de —Es decir, el producto de los mismos vectores, pero en orden inverso.
Definición
En matemáticas, un rotor en el álgebra geométrica de un espacio vectorial V es lo mismo que un elemento del grupo de espín Spin ( V ). Definimos este grupo a continuación.
Deje V un espacio vectorial equipado con una definida positiva forma cuadrática q , y dejar Cl ( V ) ser el álgebra geométrica asociado a V . El álgebra Cl ( V ) es el cociente del álgebra tensorial de V por las relaciones para todos . (El producto tensorial en Cl ( V ) es lo que se llama el producto geométrico en álgebra geométrica y en este artículo se denota por.) La calificación Z en el álgebra tensorial de V desciende a una calificación Z / 2 Z en Cl ( V ), que denotamos por
Aquí, Cl par ( V ) es generado por hojas de grados pares y Cl impar ( V ) es generado por hojas de grados impares.
Hay un antiautomorfismo único de Cl ( V ) que se restringe a la identidad en V : esto se llama transpuesta, y la transpuesta de cualquier multivector a se denota por. En una hoja (es decir, un tensor simple), simplemente invierte el orden de los factores. El grupo de espín Spin ( V ) se define como el subgrupo de Cl par ( V ) que consta de multivectores R tales que Es decir, consta de multivectores que se pueden escribir como producto de un número par de vectores unitarios.
Acción como rotación en el espacio vectorial
Las reflexiones a lo largo de un vector en álgebra geométrica se pueden representar como (menos) intercalando un multivector M entre un vector no nulo v perpendicular al hiperplano de reflexión y la inversa v −1 de ese vector :
y son de grado parejo. Bajo una rotación generada por el rotor R , un multivector general M se transformará a doble cara como
Esta acción da un homomorfismo sobreyectivo. presentando Spin ( V ) como una doble portada de SO ( V ). (Consulte Grupo de centrifugado para obtener más detalles).
Formulación alternativa restringida
Para un espacio euclidiano , puede ser conveniente considerar una formulación alternativa, y algunos autores definen la operación de reflexión como (menos) el emparejamiento de un multivector unitario (es decir, normalizado):
formando rotores que se normalizan automáticamente:
La acción del rotor derivada se expresa luego como un producto sándwich con el reverso:
Para una reflexión para la cual el vector asociado cuadra a un escalar negativo, como puede ser el caso de un espacio pseudo-euclidiano , dicho vector solo se puede normalizar hasta el signo de su cuadrado, y la contabilidad adicional del signo de la aplicación. el rotor se vuelve necesario. La formulación en términos de producto sándwich con el inverso anterior no adolece de tal defecto.
Rotaciones de multivectores y espinores
Sin embargo, aunque los multivectores también se transforman de dos caras, los rotores se pueden combinar y formar un grupo , por lo que varios rotores se componen de una cara. La formulación alternativa anterior no es autonormalizante y motiva la definición de espinor en álgebra geométrica como un objeto que se transforma unilateralmente, es decir, los espinores pueden considerarse como rotores no normalizados en los que se usa el inverso en lugar del inverso en el producto sándwich.
Álgebras de representación homogénea
En álgebras de representación homogénea, como el álgebra geométrica conforme , un rotor en el espacio de representación corresponde a una rotación alrededor de un punto arbitrario , una traslación o posiblemente otra transformación en el espacio base.
Ver también
Referencias
- ^ Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007). Álgebra geométrica para físicos . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. pag. 592. ISBN 9780521715959.
- ^ Clifford, William Kingdon (1878). "Aplicaciones del álgebra extensa de Grassmann". Revista Estadounidense de Matemáticas . 1 (4): 353. doi : 10.2307 / 2369379 . JSTOR 2369379 .
- ^ Grassmann, Hermann (1862). Die Ausdehnugslehre (segunda ed.). Berlín: TCF Enslin. pag. 400.
- ^ Hestenes, David (1987). Álgebra de Clifford al cálculo geométrico (edición de bolsillo). Dordrecht, Holanda: D. Reidel. pag. 105. Hestenes usa la notación para el revés.