En matemáticas, los complejos Kan y las fibraciones Kan forman parte de la teoría de conjuntos simpliciales . Las fibraciones Kan son las fibraciones de la estructura de categorías del modelo estándar en conjuntos simpliciales y, por lo tanto, son de importancia fundamental. Los complejos Kan son los objetos fibrantes en esta categoría de modelo. El nombre es en honor a Daniel Kan .
Definiciones
Definición del estándar n-simplex
Para cada n ≥ 0, recuerde que el estándar-simplex ,, es el conjunto simplicial representable
La aplicación del functor de realización geométrica a este conjunto simple da un espacio homeomórfico al estándar topológico.-simplex : el subespacio convexo de ℝ n + 1 que consta de todos los puntos tal que las coordenadas no sean negativas y sumen 1.
Definición de un cuerno
Para cada k ≤ n , esto tiene un subcomplejo, el k -ésimo cuerno en el interior, correspondiente al límite del n -simplex, con la k -ésima cara eliminada. Esto puede definirse formalmente de varias formas, como por ejemplo la unión de las imágenes de los n mapas correspondiente a todas las otras caras de . [1] Cuernos de la forma sentado adentro parece la V negra en la parte superior de la imagen adyacente. Si es un conjunto simple, luego mapas
corresponden a colecciones de -simplices que satisfacen una condición de compatibilidad, uno para cada . Explícitamente, esta condición se puede escribir de la siguiente manera. Escribe el-simplices como lista y exigir que
- para todos con . [2]
Estas condiciones se cumplen para el -simplices de sentado adentro .
Definición de una fibración Kan
Un mapa de conjuntos simpliciales es una fibración Kan si, para cualquier y y para cualquier mapa y tal que (dónde es la inclusión de en ), existe un mapa tal que y . Dicho de esta manera, la definición es muy similar a la de fibraciones en topología (ver también propiedad de elevación de homotopía ), de ahí el nombre "fibración".
Observaciones técnicas
Usando la correspondencia entre -simplices de un conjunto simplicial y morfismos (una consecuencia del lema de Yoneda ), esta definición se puede escribir en términos de simplices. La imagen del mapase puede considerar como un cuerno como se describe arriba. Preguntando eso factores a través de corresponde a exigir que exista un -simplex en cuyos rostros forman el cuerno de (junto con otra cara). Entonces el mapa requerido corresponde a un simplex en cuyas caras incluyen el cuerno de . El diagrama de la derecha es un ejemplo en dos dimensiones. Dado que la V negra en el diagrama inferior se rellena con el azul-simplex, si la V negra de arriba se asigna a ella, entonces el azul rayado -simplex tiene que existir, junto con el azul punteado -simplex, mapeando hacia abajo de la manera obvia. [3]
Complejos Kan definidos a partir de fibraciones Kan
Un conjunto simplicial se llama complejo Kan si el mapa de, el conjunto simplicial de un punto, es una fibración Kan. En la categoría de modelo para conjuntos simpliciales,es el objeto terminal y, por lo tanto, un complejo Kan es exactamente lo mismo que un objeto fibrante . De manera equivalente, esto podría expresarse como: si cada mapa de un cuerno tiene una extensión para , lo que significa que hay un ascensor tal que
para el mapa de inclusión , luego es un complejo de Kan. Por el contrario, cada complejo de Kan tiene esta propiedad, por lo que proporciona una condición técnica simple para un complejo de Kan.
Ejemplos de
Conjuntos simples de homología singular
Un ejemplo importante proviene de la construcción de simples simples utilizados para definir la homología singular , llamado el functor singular [4] pág. 7
.
Dado un espacio , define un singular -simplex de X para ser un mapa continuo de la topológica estándar -simplex (como se describe arriba) para ,
Tomando el conjunto de estos mapas para todos los no negativos da un conjunto graduado,
- .
Para convertir esto en un conjunto simple, defina mapas faciales por
y mapas de degeneración por
- .
Desde la unión de cualquier caras de es un fuerte retracto de deformación de, cualquier función continua definida en estas caras puede extenderse a , que muestra que es un complejo de Kan. [5]
Relación con la realización geométrica
Vale la pena señalar que el functor singular es adyacente al functor de realización geométrica
dando el isomorfismo
Conjuntos simpliciales subyacentes a grupos simpliciales
Se puede demostrar que el conjunto simplicial subyacente a un grupo simplicial es siempre fibrante [4] pág . 12 . En particular, para un grupo abeliano simplicial , su realización geométrica es homotopía equivalente a un producto de los espacios de Eilenberg-Maclane
En particular, esto incluye la clasificación de espacios . Entonces los espacios, , y los espacios infinitos de lentes corresponden a complejos Kan de algún conjunto simple. De hecho, este conjunto se puede construir explícitamente utilizando la correspondencia Dold-Kan de un complejo de cadena y tomando el conjunto simplicial subyacente del grupo abeliano simplicial.
Realizaciones geométricas de pequeños grupoides
Otra fuente importante de ejemplos son los conjuntos simpliciales asociados a un pequeño grupoide. . Esto se define como la realización geométrica del conjunto simplicial y típicamente se denota . También podríamos haber reemplazadocon un grupóide infinito. Se conjetura que la categoría de homotopía de realizaciones geométricas de grupos infinitos es equivalente a la categoría de homotopía de tipos de homotopía. Esto se llama hipótesis de homotopía.
No es un ejemplo: estándar n-simplex
Resulta el estándar -sencillo no es un complejo de Kan [6] pág . 38 . La construcción de un contraejemplo en general se puede encontrar mirando un ejemplo de baja dimensión, digamos. Tomando el mapa enviando
da un contraejemplo, ya que no se puede extender a un mapa porque los mapas deben conservar el orden. Si hubiera un mapa, tendría que enviar
pero este no es un mapa de conjuntos simpliciales.
Propiedades categóricas
Complejos funcionales y de enriquecimiento simple
Para conjuntos simpliciales hay un conjunto simplicial asociado llamado complejo de funciones , donde los simples se definen como
y para un mapa ordinal hay un mapa inducido
(ya que el primer factor de Hom es contrario) definido enviando un mapa a la composicion
Ley exponencial
Este complejo tiene la siguiente ley exponencial de conjuntos simpliciales
que envía un mapa al mapa compuesto
dónde por elevado al n-simplex .
Kan fibraciones y pull-backs
Dada una fibración (Kan) y una inclusión de conjuntos simpliciales , hay una fibración [4] pág. 21
(dónde está en el complejo de funciones en la categoría de conjuntos simpliciales) inducido a partir del diagrama conmutativo
dónde es el mapa de retroceso dado por precomposición y es el mapa de avance dado por post-composición. En particular, la fibración anterior implica y son fibraciones.
Aplicaciones
Grupos de homotopía de complejos Kan
Los grupos de homotopía de un conjunto fibrante simplicial pueden definirse combinatoriamente, utilizando cuernos, de forma que concuerde con los grupos de homotopía del espacio topológico que lo realiza. Para un complejo Kan y un vértice , como un conjunto se define como el conjunto de mapas de conjuntos simpliciales que encajan en un cierto diagrama conmutativo:
Note el hecho se asigna a un punto es equivalente a la definición de la esfera como el cociente para la bola de la unidad estándar
Definir la estructura del grupo requiere un poco más de trabajo. Básicamente, dados dos mapas hay un asociado -simplice tal que da su adición. Este mapa está bien definido hasta clases de mapas de homotopía simplicial, lo que proporciona la estructura del grupo. Además, los grupos son abelianos para . Para, se define como las clases de homotopía de mapas de vértices .
Grupos de homotopía de conjuntos simpliciales
Usando categorías de modelo, cualquier conjunto simple tiene un reemplazo de fibra que es homotopía equivalente a en la categoría de homotopía de conjuntos simpliciales. Entonces, los grupos de homotopía de Puede ser definido como
dónde es un ascensor de a . Estos reemplazos de fibra pueden pensarse en un análogo topológico de las resoluciones de un complejo de cadena (como una resolución proyectiva o una resolución plana ).
Ver también
- Categoría de modelo
- Teoría de la homotopía simple
- Categoría simplemente enriquecida
- Complejo de Kan débil (también llamado cuasi-categoría, categoría ∞)
- ∞-grupoide
Referencias
- ^ Ver Goerss y Jardine, página 7
- ^ Ver mayo, página 2
- ^ May usa esta definición simple; ver página 25
- ^ a b c Goerss, Paul G .; Jardín, John F. (2009). Teoría de la homotopía simple . Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-0346-0188-7. OCLC 837507571 .
- ^ Ver mayo, página 3
- ^ Friedman, Greg (3 de octubre de 2016). "Una introducción ilustrada elemental a los conjuntos simpliciales". arXiv : 0809.4221 [ matemáticas.AT ].
- Una introducción ilustrada elemental a los conjuntos simpliciales.
Bibliografía
- Goerss, Paul G .; Jardine, John F. (1999). Teoría de la homotopía simple . Basilea: Birkhäuser Basel. doi : 10.1007 / 978-3-0348-8707-6 . ISBN 978-3-0348-9737-2. Señor 1711612 .
- Mayo, J. Peter (1992) [1967]. Objetos simples en topología algebraica . Conferencias de Chicago en Matemáticas. Chicago, IL: University of Chicago Press . ISBN 0-226-51180-4. Señor 1206474 .