En la teoría de la medida , una rama de las matemáticas que estudia las nociones generalizadas de volúmenes, una medida s-finita es un tipo especial de medida . Una medida s-finita es más general que una medida finita, pero permite generalizar ciertas demostraciones para medidas finitas.
Las medidas s-finitas no deben confundirse con las medidas σ-finitas (sigma-finitas) .
Definición
Dejar ser un espacio medible yuna medida en este espacio medible. La medidase llama una s-medida finita, si se puede escribir como una suma contable de medidas finitas (), [1]
Ejemplo
La medida de Lebesgue es una medida s-finita. Para esto, establezca
y definir las medidas por
para todos los conjuntos medibles . Estas medidas son finitas, ya que para todos los conjuntos medibles , y por construcción satisfacer
Por tanto, la medida de Lebesgue es s-finita.
Propiedades
Relación con medidas σ-finitas
Toda medida σ-finita es s-finita, pero no toda medida s-finita es también σ-finita.
Para mostrar que toda medida σ-finita es s-finita, sea ser σ-finito. Luego hay conjuntos disjuntos medibles con y
Entonces las medidas
son finitos y su suma es . Este enfoque es como en el ejemplo anterior.
Un ejemplo de una medida s-finita que no es σ-finita se puede construir en el conjunto con el σ-álgebra . Para todos, dejar ser la medida de cuenta en este espacio medible y definir
La medida es por construcción s-finita (ya que la medida de conteo es finita en un conjunto con un elemento). Pero no es σ-finito, ya que
Entonces no puede ser σ-finito.
Equivalencia a medidas de probabilidad
Para cada medida s-finita , existe una medida de probabilidad equivalente , significa que . [1] Una posible medida de probabilidad equivalente viene dada por
Referencias
- ↑ a b Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. pag. 21. doi : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.
Fuentes para medidas s-finitas
- ^ Falkner, Neil (2009). "Reseñas". American Mathematical Monthly . 116 (7): 657–664. doi : 10.4169 / 193009709X458654 . ISSN 0002-9890 .
- ^ Olav Kallenberg (12 de abril de 2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Saltador. ISBN 978-3-319-41598-7.
- ^ Günter Last; Mathew Penrose (26 de octubre de 2017). Conferencias sobre el proceso de Poisson . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-08801-6.
- ^ RK Getoor (6 de diciembre de 2012). Medidas excesivas . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-3470-8.