El término externo es útil para describir ciertas estructuras algebraicas. El término proviene del concepto de una operación binaria externa que es una operación binaria que se basa en algún conjunto externo . Para ser más específico, una operación binaria externa izquierda en S sobre R es una funcióny una operación binaria externa derecha en S sobre R es una funcióndonde S es el conjunto de la operación se define en, y R es el conjunto externo (el conjunto de la operación se define más ). [1]
Generalizaciones
El concepto externo es una generalización más que una especialización y, como tal, es diferente de muchos términos en matemáticas. Un concepto similar pero opuesto es el de una función binaria interna de R a S , definida como una función. Las funciones binarias internas son como funciones binarias, pero son una forma de especialización, por lo que solo aceptan un subconjunto de los dominios de las funciones binarias. Aquí enumeramos estos términos con las firmas de funciones que implican, junto con algunos ejemplos:
- ( función binaria )
- Ejemplo: exponenciación ( como en )
- Ejemplos: multiplicación de matrices , producto tensorial y producto cartesiano
- (función binaria interna)
- Ejemplo: relaciones binarias internas ()
- Ejemplo: establecer membresía ( dónde es la categoría de conjuntos )
- Ejemplos: el producto escalar , el producto interno y las métricas.
- ( operación binaria externa )
- ( operación binaria )
- Ejemplos: suma , multiplicación , permutaciones y el producto cruzado
Monoides externos
Dado que los monoides se definen en términos de operaciones binarias , podemos definir un monoide externo en términos de operaciones binarias externas . En aras de la simplicidad, a menos que se especifique lo contrario, se implica una operación binaria externa izquierda . Usando el término externo , podemos hacer las generalizaciones:
- Un magma externo sobre R es un conjunto S con una operación binaria externa. Esto satisface para todos ( cierre externo ).
- Un semigrupo externo encima es un magma externo que satisface para todos ( asociativo externamente ).
- Un monoide externo encima es un semigrupo externo en el que existe tal que para todos (tiene elemento de identidad externo ).
Módulos como anillos externos
Gran parte de la maquinaria de los módulos y los espacios vectoriales es bastante sencilla, o se analizó anteriormente. Lo único que aún no se ha cubierto son sus axiomas de distribución. La multiplicación del anillo externoes externamente distributiva ensobre el anillo iff :
- para todos y:
- para todos
Usando esta terminología podemos hacer las siguientes generalizaciones locales:
- Un semiringuito externo sobre el semiring es un monoide conmutativo y un monoide externo dónde es externamente distributiva ensobre el semiring .
- Un anillo externo sobre el anillo es un grupo abeliano y un monoide externo dónde es externamente distributiva ensobre el anillo .
Otros ejemplos
Ahora que tenemos toda la terminología que necesitamos, podemos hacer conexiones simples entre varias estructuras:
- La exponenciación compleja forma un monoide externo sobre el grupo abeliano .
- Los bosques de factorización prima forman un semirrígido externo sobre el semiring .
- Un sistema dinámico es un monoide externo sobre el monoide .
- Un semimódulo es un semirremolque externo sobre un semirremolque .
- Un módulo es un anillo externo sobre un anillo .
- Un espacio vectorial es un anillo externo sobre un campo .
Utilidad
Se podría argumentar que ya tenemos términos para los conceptos descritos aquí, como sistemas dinámicos , acciones grupales , módulos y espacios vectoriales . Sin embargo, todavía no hay otra terminología disponible para un monoide externo para el cual esta terminología nos da una expresión concisa. Por encima de todo, esta es una razón por la que este término debería ser de utilidad en la comunidad matemática.
Referencias
- ^ Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2a ed.), Lectura: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1