En matemáticas, un espacio disperso es un espacio topológico X que no contiene ningún subconjunto denso en sí mismo que no esté vacío. [1] [2] De manera equivalente, cada subconjunto no vacío A de X contiene un punto aislado en A .
Un subconjunto de un espacio topológico se denomina conjunto disperso si es un espacio disperso con la topología subespacial .
Ejemplos de
- Cada espacio discreto está disperso.
- Cada número ordinal con la topología de orden está disperso. De hecho, cada subconjunto no vacío A contiene un elemento mínimo, y ese elemento está aislado en A .
- Un espacio X con la topología de puntos particular , en particular el espacio de Sierpinski , está disperso. Este es un ejemplo de un espacio disperso que no es un espacio T 1 .
- El cierre de un conjunto disperso no es necesariamente disperso. Por ejemplo, en el plano euclidianotome un conjunto A discreto numerablemente infinito en el disco unitario, con los puntos volviéndose más y más densos a medida que uno se acerca al límite. Por ejemplo, tome la unión de los vértices de una serie de n-gons centrados en el origen, con el radio acercándose cada vez más a 1. Entonces el cierre de A contendrá todo el círculo de radio 1, que es denso en sí mismo.
Propiedades
- En un espacio topológico X, el cierre de un subconjunto denso en sí mismo es un conjunto perfecto. Entonces X está disperso si y solo si no contiene ningún conjunto perfecto no vacío.
- Cada subconjunto de un espacio disperso está disperso. Estar dispersos es una propiedad hereditaria .
- Todo espacio disperso X es un espacio T 0 . ( Prueba: Dados dos puntos distintos x , y en X , al menos uno de ellos, digamos x , se aislará en. Eso significa que hay un vecindario de x en X que no contiene y .)
- En un espacio T 0 se dispersa la unión de dos conjuntos dispersos. [3] [4] Tenga en cuenta que aquí es necesario el supuesto T 0 . Por ejemplo, sicon la topología indiscreta , y ambos están esparcidos, pero su unión, , no se encuentra disperso ya que no tiene un punto aislado.
- Cada espacio disperso T 1 está totalmente desconectado .
- ( Prueba: si C es un subconjunto conectado no vacío de X , contiene un punto x aislado en C. Entonces, el singleton está abierto en C (porque x está aislado) y cerrado en C (debido a la propiedad T 1 ). Como C está conectado, debe ser igual a . Esto muestra que cada componente conectado de X tiene un solo punto).
- Cada segundo espacio contable disperso es contable . [5]
- Cada espacio topológico X se puede escribir de una manera única como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto disperso. [6] [7]
- Cada segundo espacio contable X se puede escribir de una manera única como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto abierto contable disperso.
- ( Prueba: use la descomposición perfecta + dispersa y el hecho anterior sobre los segundos espacios dispersos contables, junto con el hecho de que un subconjunto de un segundo espacio contable es el segundo contable).
- Además, cada subconjunto cerrado de un segundo contable X se puede escribir de manera única como la unión de la desunión de un subconjunto perfecta de X y un subconjunto dispersa contable de X . [8] Esto es válido en particular en cualquier espacio polaco , que es el contenido del teorema de Cantor-Bendixson .
Notas
- ^ Steen y Seebach, p. 33
- ^ Engelking, pág. 59
- ^ Véase la proposición 2.8 en Al-Hajri, Monerah; Belaid, Karim; Belaid, Lamia Jaafar (2016). "Espacios dispersos, compactaciones y una aplicación al problema de clasificación de imágenes" . Publicaciones matemáticas de las montañas Tatra . 66 : 1-12. doi : 10.1515 / tmmp-2016-0015 . S2CID 199470332 .
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/3854864
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/376116
- ^ Willard, problema 30E, p. 219
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/3856152
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/742025
Referencias
- Engelking, Ryszard, Topología general , Heldermann Verlag Berlín, 1989. ISBN 3-88538-006-4
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. Señor 0507446 .
- Willard, Stephen (2004) [1970], Topología general ( reimpresión de Dover de 1970 ed.), Addison-Wesley