En matemáticas, el teorema de Schneider-Lang es un refinamiento de Lang (1966) de un teorema de Schneider (1949) sobre la trascendencia de los valores de las funciones meromórficas . El teorema implica los teoremas de Hermite-Lindemann y Gelfond-Schneider , e implica la trascendencia de algunos valores de funciones elípticas y funciones modulares elípticas .
Declaración
Fije un campo numérico K y meromorfo f 1 ,…, f N , de los cuales al menos dos son algebraicamente independientes y tienen órdenes ρ 1 y ρ 2 , y tal que f j ′ ∈ K [ f 1 ,…, f N ] para cualquier j . Entonces hay como máximo
números complejos distintos ω 1 ,…, ω m tales que f i ( ω j ) ∈ K para todas las combinaciones de i y j .
Ejemplos de
- Si f 1 ( z ) = z y f 2 ( z ) = e z entonces el teorema implica el teorema de Hermite-Lindemann que e α es trascendental para distinto de cero algebraica α : de lo contrario, α , 2 α , 3 α , ... sería una número infinito de valores en los que f 1 y f 2 son algebraicos.
- De manera similar, tomar f 1 ( z ) = e z y f 2 ( z ) = e βz para β algebraico irracional implica el teorema de Gelfond-Schneider de que si α y α β son algebraicos, entonces α∈ {0,1} : de lo contrario, log ( α ), 2log ( α ), 3log ( α ),… sería un número infinito de valores en los que f 1 y f 2 son algebraicos.
- Recuerde que la función P de Weierstrass satisface la ecuación diferencial
- Tomando las tres funciones como z , ℘ ( αz ) , ℘ ′ ( αz ) muestra que, para cualquier α algebraico , si g 2 ( α ) y g 3 ( α ) son algebraicas, entonces ℘ ( α ) es trascendental.
- Tomar las funciones como z y e f (z) para un polinomio f de grado ρ muestra que el número de puntos donde las funciones son todas algebraicas puede crecer linealmente con el orden ρ = deg ( f ) .
Prueba
Para probar el resultado, Lang tomó dos funciones algebraicamente independientes de f 1 ,…, f N , digamos, f y g , y luego creó una función auxiliar F ∈ K [ f , g ] . Utilizando el lema de Siegel , demostró que se podía suponer que F desaparecía en un orden superior en ω 1 , ..., ω m . Por lo tanto, una derivada de orden superior de F toma un valor de tamaño pequeño en uno de tales ω i s, "tamaño" aquí se refiere a una propiedad algebraica de un número . Usando el principio del módulo máximo , Lang también encontró una estimación separada para valores absolutos de los derivados de F . Los resultados estándar conectan el tamaño de un número y su valor absoluto, y las estimaciones combinadas implican el límite declarado de m .
Teorema de bombieri
Bombieri & Lang (1970) y Bombieri (1970) error de harvtxt: objetivos múltiples (2 ×): CITEREFBombieri1970 ( ayuda ) generalizó el resultado a funciones de varias variables. Bombieri demostró que si K es un campo numérico algebraico y f 1 , ..., f N son funciones meromórficas de d variables complejas de orden como máximo ρ generando un campo K ( f 1 , ..., f N ) de grado de trascendencia al menos d + 1 que está cerrado bajo todas las derivadas parciales, entonces el conjunto de puntos donde todas las funciones f n tienen valores en K está contenido en una hipersuperficie algebraica en C d de grado como máximo
Waldschmidt (1979 , teorema 5.1.1) dio una demostración más simple del teorema de Bombieri, con una cota ligeramente más fuerte de d (ρ 1 + ... + ρ d +1 ) [ K : Q ] para el grado, donde ρ j son los órdenes de d +1 funciones algebraicamente independientes. El caso especial d = 1 da el teorema de Schneider-Lang, con un límite de (ρ 1 + ρ 2 ) [ K : Q ] para el número de puntos.
Ejemplo
Si p es un polinomio con coeficientes enteros, entonces las funciones z 1 , ..., z n , e p ( z 1 , ..., z n ) son todas algebraicas en un conjunto denso de puntos de la hipersuperficie p = 0.
Referencias
- Bombieri, Enrico (1970), "Valores algebraicos de mapas meromórficos", Inventiones Mathematicae , 10 (4): 267–287, doi : 10.1007 / BF01418775 , ISSN 0020-9910 , MR 0306201, Bombieri, Enrico (1970), "Addendum to my paper:" Algebraic values of meromorphic maps "(Invent. Math. 10 (1970), 267-287)", Inventiones Mathematicae , 11 (2): 163-166, doi : 10.1007 / BF01404610 , ISSN 0020-9910 , Sr. 0322203
- Bombieri, Enrico ; Lang, Serge (1970), "Subgrupos analíticos de variedades de grupo", Inventiones Mathematicae , 11 : 1–14, doi : 10.1007 / BF01389801 , ISSN 0020-9910 , MR 0296028
- S. Lang, " Introducción a los números trascendentales ", Addison-Wesley Publishing Company, (1966)
- Lelong, Pierre (1971), "Valeurs algébriques d'une application méromorphe (d'après E. Bombieri) Exp. No. 384", Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971) , Lecture Notes in Math., 244 , Berlín , Nueva York: Springer-Verlag , págs. 29–45, doi : 10.1007 / BFb0058695 , ISBN 978-3-540-05720-8, MR 0414500
- Schneider, Theodor (1949), "Ein Satz über ganzwertige Funktionen als Prinzip für Transzendenzbeweise", Mathematische Annalen , 121 : 131–140, doi : 10.1007 / BF01329621 , ISSN 0025-5831 , MR 0031498
- Waldschmidt, Michel (1979), Nombres trascendants et groupes algébriques , Astérisque, 69 , París: Société Mathématique de France