En matemáticas , una raíz cuadrada funcional (a veces llamada media iteración ) es una raíz cuadrada de una función con respecto a la operación de composición de funciones . En otras palabras, una raíz cuadrada funcional de una función g es una función f que satisface f ( f ( x )) = g ( x ) para todo x .
Notación
Las notaciones que expresan que f es una raíz cuadrada funcional de g son f = g [1/2] y f = g 1/2 . [ cita requerida ]
Historia
- La raíz cuadrada funcional de la función exponencial (ahora conocida como función semiexponencial ) fue estudiada por Hellmuth Kneser en 1950. [1]
- Las soluciones de f ( f ( x )) = x sobre(las involuciones de los números reales ) fueron estudiadas por primera vez por Charles Babbage en 1815, y esta ecuación se llama ecuación funcional de Babbage . [2] Una solución particular es f ( x ) = ( b - x ) / (1 + cx ) para bc ≠ −1 . Babbage notó que para cualquier solución f dada , su conjugado funcional Ψ −1 ∘ f ∘ Ψ por una función invertible arbitraria Ψ también es una solución. En otras palabras, el grupo de todas las funciones invertibles en la línea real actúa sobre el subconjunto que consiste en soluciones a la ecuación funcional de Babbage por conjugación .
Soluciones
Un procedimiento sistemático para producir arbitrarias funcionales n -roots (incluyendo, más allá de n = 1/2 , [ aclaración necesaria ] continua, negativo, y infinitesimal n ) de funciones g : ℂ → ℂ se basa en las soluciones de la ecuación de Schröder . [3] [4] [5] Existen infinitas soluciones triviales cuando se permite que el dominio de una función raíz f sea suficientemente mayor que el de g .
Ejemplos de
- f ( x ) = 2 x 2 es una raíz cuadrada funcional de g ( x ) = 8 x 4 .
- Una raíz cuadrada funcional del n- ésimo polinomio de Chebyshev , g ( x ) = T n ( x ) , es f ( x ) = cos ( √ n arccos ( x )) , que en general no es un polinomio .
- f ( x ) = x / ( √ 2 + x (1 - √ 2 )) es una raíz cuadrada funcional de g ( x ) = x / (2 - x ) .
- sin [2] ( x ) = sin (sin ( x )) [ curva roja ]
- sin [1] ( x ) = sin ( x ) = rin (rin ( x )) [ curva azul ]
- sin [½] ( x ) = rin ( x ) = qin (qin ( x )) [ curva naranja ]
- sin [¼] ( x ) = qin ( x ) [curva negra sobre la curva naranja]
- sin [–1] ( x ) = arcsin ( x ) [curva discontinua]
Ver también
Referencias
- ^ Kneser, H. (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ ( φ ( x )) = e x und verwandter Funktionalgleichungen" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 187 : 56–67.
- ^ Jeremy Gray y Karen Parshall (2007) Episodios en la historia del álgebra moderna (1800-1950) , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4343-7
- ^ Schröder, E. (1870). "Ueber iterirte Functionen" . Mathematische Annalen . 3 (2): 296–322. doi : 10.1007 / BF01443992 .
- ^ Szekeres, G. (1958). "Iteración regular de funciones reales y complejas" . Acta Mathematica . 100 (3–4): 361–376. doi : 10.1007 / BF02559539 .
- ^ Curtright, T .; Zachos, C .; Jin, X. (2011). "Soluciones aproximadas de ecuaciones funcionales". Journal of Physics A . 44 (40): 405205. arXiv : 1105.3664 . Código Bibliográfico : 2011JPhA ... 44N5205C . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 44/40/405205 .
- ^ Curtright, T. L. Evolución de superficies y métodos funcionales de Schröder .