En geometría algebraica , una variedad de Schubert es una cierta subvariedad de un Grassmanniano , generalmente con puntos singulares . Como un Grassmannian, es una especie de espacio de los módulos , cuyos puntos corresponden a ciertos tipos de subespacios V , especificado utilizando álgebra lineal , dentro de un fijo subespacio vectorial W . Aquí W puede ser un espacio vectorial sobre un campo arbitrario , aunque más comúnmente sobre los números complejos .
Un ejemplo típico es el conjunto X cuyos puntos corresponden a esos subespacios bidimensionales V de un espacio vectorial de 4 dimensiones W , de manera que V interseca de manera no trivial un subespacio bidimensional fijo (referencia) W 2 :
Sobre el campo de número real , esto se puede representar en el espacio xyz habitual de la siguiente manera. Reemplazando subespacios con sus correspondientes espacios proyectivos, e intersectando con un parche de coordenadas afines de, Obtenemos un subconjunto abierto X ° ⊂ X . Esto es isomorfo al conjunto de todas las líneas L (no necesariamente a través del origen) que se encuentran con el eje x . Cada una de estas líneas L corresponde a un punto de X °, y L en movimiento continuo en el espacio (mientras se mantiene en contacto con el eje x ) corresponde a una curva en X °. Dado que hay tres grados de libertad para mover L (mover el punto en el eje x , girar e inclinarse), X es una variedad algebraica real tridimensional . Sin embargo, cuando L es igual a la x eje x, se puede girar o inclinar alrededor de cualquier punto sobre el eje, y este exceso de movimientos posibles hace L un punto de singular X .
De manera más general, una variedad de Schubert se define especificando la dimensión mínima de intersección entre una V k- dimensional con cada uno de los espacios en una bandera de referencia fija, dónde . (En el ejemplo anterior, esto significaría que requiere ciertas intersecciones de la línea L con la x eje x y la xy un plano.)
En una generalidad aún mayor, dado un grupo algebraico semisimple G con un subgrupo Borel B y un subgrupo parabólico estándar P , se sabe que el espacio homogéneo X = G / P , que es un ejemplo de una variedad de bandera , consta de un número finito de B -orbitas que pueden estar parametrizadas por ciertos elementos del grupo W de Weyl . El cierre de la B -orbit asociado a un elemento w del grupo de Weyl se denota por X w y se llama una variedad Schubert en G / P . Los caso corresponde clásicos a G = SL n y P es el k ésimo máximo parabólico subgrupo de G .
Significado
Las variedades de Schubert forman una de las clases más importantes y mejor estudiadas de variedades algebraicas singulares . Los polinomios Kazhdan-Lusztig , que codifican su cohomología local de intersección Goresky-MacPherson, proporcionan una cierta medida de singularidad de las variedades de Schubert .
Las álgebras de funciones regulares en las variedades de Schubert tienen un significado profundo en la combinatoria algebraica y son ejemplos de álgebras con una ley de enderezamiento . La (co) homología de Grassmannian, y más en general, de las variedades bandera más generales, tiene una base que consiste en las clases de (co) homología de las variedades de Schubert, los ciclos de Schubert . El estudio de la teoría de la intersección en Grassmannian fue iniciado por Hermann Schubert y continuó por Zeuthen en el siglo XIX bajo el título de geometría enumerativa . Esta área fue considerada por David Hilbert lo suficientemente importante como para ser incluida como el decimoquinto de sus célebres 23 problemas . El estudio continuó en el siglo XX como parte del desarrollo general de la topología algebraica y la teoría de la representación , pero se aceleró en la década de 1990 a partir del trabajo de William Fulton sobre los loci de degeneración y los polinomios de Schubert , siguiendo las investigaciones anteriores de Bernstein - Gelfand . Gelfand y Demazure en la teoría de la representación en la década de 1970, Lascoux y Schützenberger en la combinatoria en la década de 1980, y de Fulton y MacPherson en la teoría de la intersección de variedades algebraicas singulares, también en la década de 1980.
Ver también
Referencias
- PA Griffiths, JE Harris, Principios de geometría algebraica , Wiley (Interscience) (1978)
- AL Onishchik (2001) [1994], "Variedad Schubert" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- H. Schubert, Lösung des Charakteristiken-Problems für lineare Räume beliebiger Dimension Mitt. Matemáticas. Gesellschaft Hamburg, 1 (1889) págs. 134-155