Una aproximación a los fundamentos de las matemáticas que es de origen relativamente reciente, la teoría de conjuntos de Scott-Potter es una colección de teorías de conjuntos axiomáticas anidadas establecidas por el filósofo Michael Potter, basándose en trabajos anteriores del matemático Dana Scott y el filósofo George Boolos .
Potter (1990, 2004) aclaró y simplificó el enfoque de Scott (1974), y mostró cómo la teoría de conjuntos axiomáticos resultante puede hacer lo que se espera de dicha teoría, es decir, fundamentar los números cardinales y ordinales , la aritmética de Peano y los otros sistemas numéricos habituales . y la teoría de las relaciones .
ZU etc.
Preliminares
Esta sección y la siguiente siguen de cerca la Parte I de Potter (2004). La lógica de fondo es la lógica de primer orden con identidad . La ontología incluye elementos tanto como conjuntos , lo que deja en claro que puede haber conjuntos de entidades definidas por teorías de primer orden que no se basan en conjuntos. Los urelementos no son esenciales en el sentido de que otras estructuras matemáticas pueden definirse como conjuntos, y se permite que el conjunto de urelementos esté vacío.
Alguna terminología peculiar de la teoría de conjuntos de Potter:
- ι es un operador de descripción definido y vincula una variable. (En la notación de Potter, el símbolo de la iota está invertido).
- El predicado U es válido para todos los elementos (no colecciones).
- ιxΦ (x) existe iff ( ∃! x ) Φ (x). (Potter usa Φ y otras letras griegas en mayúsculas para representar fórmulas).
- {x: Φ (x)} es una abreviatura de ιy (no U (y) y ( ∀x ) (x ∈ y ⇔ Φ (x))).
- a es una colección si { x : x ∈ a } existe. (Todos los conjuntos son colecciones, pero no todas las colecciones son conjuntos).
- La acumulación de una , ACC ( una ), es el conjunto { x : x es un urelement o ∃ b ∈ una ( x ∈ b o x ⊂ b )}.
- Si ∀ v ∈ V ( v = acc ( V ∩ v )) entonces V es una historia .
- Un nivel es la acumulación de una historia.
- Un nivel inicial no tiene otros niveles como miembros.
- Un nivel límite es un nivel que no es ni el nivel inicial ni el nivel por encima de cualquier otro nivel.
- Un conjunto es una subcolección de algún nivel.
- El cumpleaños de conjunto una , denotado V ( una ), es el nivel más bajo V de tal manera que un ⊂ V .
Axiomas
Los siguientes tres axiomas definen la teoría ZU .
Creación : ∀ V ∃ V ' ( V ∈ V' ).
Observación : No hay un nivel más alto, por lo tanto, hay una infinidad de niveles. Este axioma establece la ontología de niveles.
Separación : un esquema de axioma . Para cualquier fórmula de primer orden Φ ( x ) con variables (ligadas) que van por encima del nivel V , la colección { x ∈ V : Φ ( x )} también es un conjunto. (Ver esquema de separación Axiom .)
Observación : Dados los niveles establecidos por la Creación , este esquema establece la existencia de conjuntos y cómo formarlos. Nos dice que un nivel es un conjunto, y todos los subconjuntos, definibles mediante lógica de primer orden , de niveles también son conjuntos. Este esquema puede verse como una extensión de la lógica de fondo.
Infinito : existe al menos un nivel límite. (Ver Axioma del infinito ).
Observación : Entre los conjuntos que permite la separación , al menos uno es infinito . Este axioma es principalmente matemático , ya que no hay necesidad del infinito real en otros contextos humanos, siendo el orden sensorial humano necesariamente finito . Para propósitos matemáticos, el axioma "Existe un conjunto inductivo " sería suficiente.
Más premisas de existencia
Las siguientes afirmaciones, aunque tienen la naturaleza de axiomas, no son axiomas de ZU . En cambio, afirman la existencia de conjuntos que satisfacen una condición establecida. Como tales, son "premisas de existencia", es decir, lo siguiente. Sea X cualquier enunciado a continuación. Cualquier teorema cuya demostración requiera X se formula condicionalmente como "Si X se cumple, entonces ..." Potter define varios sistemas utilizando premisas de existencia, incluidas las dos siguientes:
- ZfU = df ZU + Ordinales ;
- ZFU = df Separación + Reflexión .
Ordinales : Para cada α ordinal (infinito), existe un nivel V α correspondiente .
Observación : En palabras, "Existe un nivel correspondiente a cada ordinal infinito". Ordinales hace posible la definición convencional de Von Neumann de números ordinales .
Sea τ ( x ) un término de primer orden .
Reemplazo : un esquema de axioma . Para cualquier colección a , ∀ x ∈ a [τ ( x ) es un conjunto] → {τ ( x ): x ∈ a } es un conjunto.
Observación : Si el término τ ( x ) es una función (llámelo f ( x )), y si el dominio de f es un conjunto, entonces el rango de f también es un conjunto.
Reflexión : Sea Φ una fórmula de primer orden en la que se encuentran presentes cualquier número de variables libres . Deje Φ ( V ) denotan Φ con estas variables libres todo cuantificados, con las variables cuantificadas restringidas al nivel V .
Entonces ∃ V [Φ → Φ ( V ) ] es un axioma.
Observación : Este esquema afirma la existencia de un universo "parcial", a saber, el nivel V , en el que todas las propiedades Φ se mantienen cuando las variables cuantificadas abarcan todos los niveles, también se mantienen cuando estas variables oscilan solo sobre V. La reflexión convierte la creación , el infinito , los ordinales y el reemplazo en teoremas (Potter 2004: §13.3).
Sean A y a secuencias de conjuntos no vacíos , cada uno indexado por n .
Contable Choice : Dado cualquier secuencia de A , existe una secuencia de un tal que:
- ∀ n ∈ω [ un n ∈ A n ].
Observación . Countable Choice permite probar que cualquier conjunto debe ser finito o infinito.
Sea B y C los conjuntos, y n indexe los miembros de B , cada uno denotado B n .
Opción : Deje que los miembros de B sean conjuntos no vacíos disjuntos. Luego:
- ∃ C ∀ n [ C ∩ B n es un singleton ].
Discusión
El universo de von Neumann implementa la "concepción iterativa de conjunto" estratificando el universo de conjuntos en una serie de "niveles", siendo los conjuntos de un nivel dado los miembros de los conjuntos que componen el siguiente nivel superior. Por tanto, los niveles forman una secuencia anidada y bien ordenada , y formarían una jerarquía si la pertenencia al conjunto fuera transitiva . La concepción iterativa resultante se aleja, de una manera bien motivada, de las conocidas paradojas de Russell , Burali-Forti y Cantor . Todas estas paradojas resultan del uso irrestricto del principio de comprensión que permite la teoría de conjuntos ingenua . Las colecciones como "la clase de todos los conjuntos" o "la clase de todos los ordinales" incluyen conjuntos de todos los niveles de la jerarquía. Dada la concepción iterativa, tales colecciones no pueden formar conjuntos en ningún nivel dado de la jerarquía y, por lo tanto, no pueden ser conjuntos en absoluto. La concepción iterativa se ha vuelto gradualmente más aceptada con el tiempo, a pesar de una comprensión imperfecta de sus orígenes históricos.
El tratamiento axiomático de Boolos (1989) de la concepción iterativa es su teoría de conjuntos S , una teoría de primer orden en dos clasificaciones que involucra conjuntos y niveles.
Teoría de Scott
Scott (1974) no mencionó la "concepción iterativa de conjunto", sino que propuso su teoría como una consecuencia natural de la teoría simple de tipos . Sin embargo, la teoría de Scott puede verse como una axiomatización de la concepción iterativa y la jerarquía iterativa asociada.
Scott comenzó con un axioma que se negó a nombrar: la fórmula atómica x ∈ y implica que y es un conjunto. En símbolos:
- ∀ x , y ∃ a [ x ∈ y → y = a ].
Su axioma de extensionalidad y esquema de axioma de comprensión ( separación ) son estrictamente análogos a sus contrapartes de ZF y, por lo tanto, no mencionan niveles. Luego invocó dos axiomas que mencionan niveles:
- Acumulación . Un nivel dado "acumula" todos los miembros y subconjuntos de todos los niveles anteriores. Consulte la definición anterior de acumulación .
- Restricción . Todas las colecciones pertenecen a algún nivel.
La restricción también implica la existencia de al menos un nivel y asegura que todos los conjuntos estén bien fundamentados.
El axioma final de Scott, el esquema de Reflexión , es idéntico a la premisa de existencia anterior que lleva el mismo nombre, y de la misma manera cumple con el Infinito y Reemplazo de ZF . El sistema de Scott tiene la misma fuerza que ZF.
Teoría de Potter
Potter (1990, 2004) introdujo la terminología idiosincrásica descrita anteriormente en esta entrada y descartó o reemplazó todos los axiomas de Scott excepto Reflexión ; el resultado es ZU . ZU , como ZF, no se puede axiomatizar de forma finita. ZU se diferencia de ZFC en que:
- No incluye axioma de extensionalidad porque el principio de extensionalidad habitual se deriva de la definición de colección y un lema fácil.
- Admite colecciones no bien fundamentadas . Sin embargo, Potter (2004) nunca invoca tales colecciones y todos los conjuntos (colecciones que están contenidas en un nivel) están bien fundamentados. Ningún teorema de Potter se anularía si se añadiera a ZU un axioma que establezca que todas las colecciones son conjuntos .
- No incluye equivalentes de Elección o el esquema de axioma de Reemplazo .
Por lo tanto, ZU está más cerca de la teoría de conjuntos de Zermelo de 1908, es decir, ZFC menos Elección, Reemplazo y Fundación. Sin embargo, es más fuerte que esta teoría, ya que los cardinales y los ordinales pueden definirse, a pesar de la ausencia de Elección, utilizando el truco de Scott y la existencia de niveles, y tal definición no es posible en la teoría de conjuntos de Zermelo. Por lo tanto, en ZU, una clase de equivalencia de:
- Los conjuntos equinumeros de un nivel común es un número cardinal ;
- El ordenamiento de pozos isomórficos , también de un nivel común, es un número ordinal.
De manera similar, los números naturales no se definen como un conjunto particular dentro de la jerarquía iterativa, sino como modelos de un álgebra de Dedekind "pura". "Álgebra de Dedekind" es el nombre de Potter para un conjunto cerrado bajo una operación inyectiva unaria , sucesora , cuyo dominio contiene un elemento único, cero, ausente de su rango . Debido a que la teoría de las álgebras de Dedekind es categórica (todos los modelos son isomórficos ), cualquier álgebra de este tipo puede representar los números naturales.
Aunque Potter (2004) dedica un apéndice completo a las clases adecuadas , la fuerza y los méritos de la teoría de conjuntos de Scott-Potter en relación con los conocidos rivales de ZFC que admiten clases adecuadas, a saber, NBG y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley , aún no se conocen. explorado.
La teoría de conjuntos de Scott-Potter se parece a la NFU en que esta última es una teoría de conjuntos axiomáticos ideada recientemente (Jensen 1967) que admite tanto elementos como conjuntos que no están bien fundamentados . Pero los urelementos de NFU, a diferencia de los de ZU, juegan un papel esencial; ellos y las restricciones resultantes sobre la extensionalidad hacen posible una prueba de la consistencia de NFU en relación con la aritmética de Peano . Pero no se sabe nada acerca de la fuerza de NFU en relación con Creación + Separación , NFU + Infinito en relación con ZU, y de NFU + Infinito + Opción contable en relación con ZU + Opción contable .
A diferencia de casi todos los escritos sobre teoría de conjuntos en las últimas décadas, Potter (2004) menciona fusiones mereológicas . Sus colecciones son también sinónimo de los "decorados virtuales" de Willard Quine y Richard Milton Martin : entidades surgidas del libre uso del principio de comprensión que nunca pueden ser admitidas en el universo del discurso .
Ver también
- Fundamentos de las matemáticas
- Jerarquía (matemáticas)
- Lista de temas de teoría de conjuntos
- Filosofía de las matemáticas
- S (Boolos 1989)
- Universo von Neumann
- Teoría de conjuntos de Zermelo
- ZFC
Referencias
- George Boolos , 1971, "La concepción iterativa del conjunto", Journal of Philosophy 68 : 215–31. Reimpreso en Boolos 1999. Logic, Logic, and Logic . Universidad de Harvard. Presione: 13-29.
- --------, 1989, "Iteración de nuevo", Temas filosóficos 42 : 5-21. Reimpreso en Boolos 1999. Logic, Logic, and Logic . Universidad de Harvard. Presione: 88-104.
- Potter, Michael, 1990. Sets: An Introduction . Universidad de Oxford. Prensa.
- ------, 2004. Teoría de conjuntos y su filosofía . Universidad de Oxford. Prensa.
- Dana Scott , 1974, "Axiomatizar la teoría de conjuntos" en Jech, Thomas, J., ed., Teoría de conjuntos axiomáticos II , Actas de simposios en matemáticas puras 13. American Mathematical Society: 207-14.
enlaces externos
Revisión de Potter (1990):
- McGee, Vann, " [1] " "Journal of Symbolic Logic 1993": 1077-1078
Reseñas de Potter (2004):
- Bays, Timothy, 2005, " Review ", Notre Dame Philosophical Reviews .
- Uzquiano, Gabriel, 2005, " Review ", Philosophia Mathematica 13 : 308-46.