La conjetura del anillo de Burnside de Segal , o, más brevemente, la conjetura de Segal , es un teorema de la teoría de la homotopía , una rama de las matemáticas . El teorema relaciona el anillo de Burnside de un grupo finito G con la cohomotopía estable del espacio de clasificación BG . La conjetura fue hecha a mediados de la década de 1970 por Graeme Segal y probada en 1984 por Gunnar Carlsson . A partir de 2016 [actualizar], esta declaración todavía se conoce comúnmente como la conjetura de Segal, aunque ahora tiene el estado de un teorema.
La conjetura de Segal tiene varias formulaciones diferentes, no todas son equivalentes. Aquí hay una forma débil: existe, para cada grupo finito G , un isomorfismo
Aquí, lim denota el límite inverso , π S * denota el anillo de cohomotopía estable, B denota el espacio de clasificación, el superíndice k denota el k - esqueleto , y el subíndice + denota la adición de un punto base disjunto. En el lado derecho, el sombrero denota la finalización del anillo Burnside con respecto a su ideal de aumento .
El anillo Burnside de un grupo finito G se construye a partir de la categoría de finito G conjuntos- como un grupo Grothendieck . Más precisamente, sea M ( G ) el monoide conmutativo de las clases de isomorfismo de conjuntos G finitos , además de la unión disjunta de conjuntos G y el elemento de identidad el conjunto vacío (que es un conjunto G de una manera única). Entonces A ( G ), el grupo Grothendieck de M ( G ), es un grupo abeliano. De hecho, es un grupo abeliano libre con elementos base representados por elG : establece G / H , donde H varía sobre los subgrupos de G . (Tenga en cuenta que aquí no se supone que H sea un subgrupo normal de G , ya que aunque G / H no es un grupo en este caso, sigue siendo un conjunto G ). La estructura del anillo en A ( G ) es inducida por el producto directo de G -sets; la identidad multiplicativa es la (clase de isomorfismo de cualquier) conjunto de un punto, que se convierte en un conjunto G de una manera única.
El anillo de Burnside es el análogo del anillo de representación en la categoría de conjuntos finitos, a diferencia de la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo (ver motivación a continuación). Ha demostrado ser una herramienta importante en la teoría de la representación de grupos finitos.
Para cualquier grupo topológico G que admita la estructura de un complejo CW , se puede considerar la categoría de paquetes G principales . Uno puede definir un funtor de la categoría de CW-complejos a la categoría de conjuntos asignando a cada CW-complejo X el conjunto de principal G -bundles en X . Este funtor desciende a un funtor en la categoría de homotopía de los complejos CW, y es natural preguntarse si el funtor así obtenido es representable . La respuesta es afirmativa, y el objeto que lo representa se llama espacio de clasificación del grupo G y generalmente se denota BG. Si restringimos nuestra atención a la categoría de homotopía de los complejos CW, entonces BG es único. Cualquier complejo CW que sea homotopía equivalente a BG se denomina modelo para BG .