En matemáticas , particularmente en geometría algebraica , análisis complejo y teoría de números algebraica , una variedad abeliana es una variedad algebraica proyectiva que también es un grupo algebraico , es decir, tiene una ley de grupo que puede definirse mediante funciones regulares . Las variedades abelianas se encuentran al mismo tiempo entre los objetos más estudiados en geometría algebraica y herramientas indispensables para mucha investigación sobre otros temas en geometría algebraica y teoría de números.
Una variedad abeliana se puede definir mediante ecuaciones que tienen coeficientes en cualquier campo ; se dice entonces que la variedad se define en ese campo. Históricamente, las primeras variedades abelianas que se estudiaron fueron las definidas en el campo de los números complejos . Tales variedades abelianas resultan ser exactamente esos toros complejos que pueden incrustarse en un espacio proyectivo complejo . Las variedades abelianas definidas sobre campos numéricos algebraicos son un caso especial, que también es importante desde el punto de vista de la teoría de números. Las técnicas de localización conducen naturalmente desde las variedades abelianas definidas sobre campos numéricos a las definidas sobre campos finitos y varioscampos locales . Dado que un campo numérico es el campo de fracción de un dominio de Dedekind , para cualquier primo distinto de cero de su dominio de Dedekind , existe un mapa desde el dominio de Dedekind al cociente del dominio de Dedekind por el primo, que es un campo finito para todos los primos finitos. . Esto induce un mapa desde el campo de fracción a cualquier campo finito. Dada una curva con ecuación definida sobre el campo numérico, podemos aplicar este mapa a los coeficientes para obtener una curva definida sobre algún campo finito, donde las opciones de campo finito corresponden a los primos finitos del campo numérico.
Las variedades abelianas aparecen naturalmente como variedades jacobianas (los componentes conectados del cero en las variedades Picard ) y variedades albanesas de otras variedades algebraicas. La ley de grupo de una variedad abeliana es necesariamente conmutativa y la variedad no es singular . Una curva elíptica es una variedad abeliana de dimensión 1. Las variedades abelianas tienen una dimensión Kodaira 0.
A principios del siglo XIX, la teoría de las funciones elípticas logró proporcionar una base para la teoría de las integrales elípticas , y esto dejó abierta una vía obvia de investigación. Las formas estándar para integrales elípticas involucraban las raíces cuadradas de polinomios cúbicos y cuárticos . Cuando esos fueran reemplazados por polinomios de mayor grado, digamos quínticas , ¿qué pasaría?
En el trabajo de Niels Abel y Carl Jacobi , se formuló la respuesta: esto involucraría funciones de dos variables complejas , que tienen cuatro períodos independientes (es decir, vectores de período). Esto dio el primer atisbo de una variedad abeliana de dimensión 2 (una superficie abeliana ): lo que ahora se llamaría el jacobiano de una curva hiperelíptica del género 2 .
Después de Abel y Jacobi, algunos de los contribuyentes más importantes a la teoría de las funciones abelianas fueron Riemann , Weierstrass , Frobenius , Poincaré y Picard . El tema era muy popular en ese momento, ya que contaba con una gran cantidad de literatura.