Disco (matemáticas)
En geometría , un disco (también deletreado disco ) [1] es la región en un plano delimitada por un círculo . Se dice que un disco está cerrado si contiene el círculo que constituye su límite y abierto si no lo contiene. [2]
En coordenadas cartesianas , el disco abierto de centro y radio R viene dado por la fórmula [1]
El disco abierto y el disco cerrado no son topológicamente equivalentes (es decir, no son homeomorfos ), ya que tienen propiedades topológicas diferentes entre sí. Por ejemplo, todo disco cerrado es compacto, mientras que todo disco abierto no es compacto. [5] Sin embargo, desde el punto de vista de la topología algebraica , comparten muchas propiedades: ambos son contráctiles [6] y, por lo tanto, son homotopías equivalentes a un solo punto. Esto implica que sus grupos fundamentales son triviales, y todos los grupos de homología son triviales, excepto el 0 ª, que es isomorfo a Z . La característica de Eulerde un punto (y por lo tanto también el de un disco cerrado o abierto) es 1. [7]
Cada mapa continuo desde el disco cerrado hasta sí mismo tiene al menos un punto fijo (no requerimos que el mapa sea biyectivo o incluso sobreyectivo ); este es el caso n = 2 del teorema del punto fijo de Brouwer . [8] La afirmación es falsa para el disco abierto: [9]
Considere, por ejemplo, la función que asigna cada punto del disco unitario abierto a otro punto del disco unitario abierto a la derecha del dado. Pero para el disco de la unidad cerrada, fija todos los puntos del semicírculo.
