En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de anillos , un anillo ideal libre (derecho) , o abeto , es un anillo en el que todos los ideales correctos son módulos libres con rango único . Un anillo tal que todos los ideales correctos con como máximo n generadores son libres y tienen un rango único se llama n-fir . Un semifir es un anillo en el que todos los ideales correctos finitamente generados son módulos libres de rango único. (Por lo tanto, un anillo es semifir si es n -fir para todo n ≥ 0.) La propiedad semifir es simétrica de izquierda a derecha, pero la propiedad fir no lo es.
Resulta que un abeto izquierdo y derecho es un dominio . Además, un fir conmutativo es precisamente un dominio ideal principal , mientras que un semifir conmutativo es precisamente un dominio de Bézout . Sin embargo, estos últimos hechos generalmente no son ciertos para los anillos no conmutativos ( Cohn 1971 ).
Todo dominio ideal recto principal R es un abeto recto, ya que todo ideal recto principal distinto de cero de un dominio es isomorfo a R . De la misma manera, un dominio de Bézout derecho es un semifir.
Dado que todos los ideales correctos de un abeto correcto son libres, son proyectivos. Entonces, cualquier abeto derecho es un anillo hereditario derecho , y del mismo modo un semifito derecho es un anillo semihereditario derecho . Debido a que los módulos proyectivos sobre los anillos locales son libres, y debido a que los anillos locales tienen un número de base invariable , se deduce que un anillo hereditario derecho local es un abeto derecho, y un anillo semihereditario derecho local es un semifiro derecho.
A diferencia de un dominio ideal derecho principal, un fir derecho no es necesariamente noetheriano correcto , sin embargo, en el caso conmutativo, R es un dominio de Dedekind ya que es un dominio hereditario, por lo que es necesariamente noetheriano.
Otro ejemplo importante y motivador de un anillo ideal libre son las k-álgebras asociativas libres (unitales) para anillos de división k , también llamados anillos polinómicos no conmutativos ( Cohn 2000 , §5.4).