Teoría de Sturm-Liouville

En matemáticas y sus aplicaciones, la teoría clásica de Sturm-Liouville es la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden reales de la forma:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!\!\left[\,p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y,}$

( 1 )

para dado funciones del coeficiente de p ( x ) , q ( x ) , y w ( x ) y una función desconocida y de la variable libre x . La función w ( x ) , a veces denotada como r ( x ) , se llama función de peso o densidad . Todas las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden se pueden reducir a esta forma.

En el caso más simple en que todos los coeficientes son continuas en el intervalo finito cerrado [ a , b ] y p ha derivada continua, una función y que se denomina una solución si es continuamente diferenciable en ( a , b ) y satisface la ecuación ( 1 ) en cada punto de ( a , b ) . (En el caso de p ( x ) , q ( x ) , w ( x ) más generales, Las soluciones deben entenderse en un sentido débil ). Además, y que normalmente se requiere para satisfacer algunas condiciones de contorno en una y b . Cada una de estas ecuaciones ( 1 ) junto con sus condiciones de contorno constituye un problema de Sturm-Liouville (SL).

El valor de λ no se especifica en la ecuación: encontrar el λ para el que existe una solución no trivial es parte del problema SL dado. Dichos valores de λ , cuando existen, se denominan valores propios del problema, y ​​las soluciones correspondientes son las funciones propias asociadas a cada λ . Esta terminología se debe a que las soluciones corresponden a los valores propios y las funciones propias de un operador diferencial hermitiano en un espacio funcional apropiado .. La teoría de Sturm-Liouville estudia la existencia y el comportamiento asintótico de los valores propios, la teoría cualitativa correspondiente de las funciones propias y su integridad en el espacio funcional.

Esta teoría es importante en matemáticas aplicadas, donde los problemas de SL ocurren con mucha frecuencia, particularmente cuando se trata de ecuaciones diferenciales parciales lineales separables . Por ejemplo, en mecánica cuántica , la ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo es un problema de SL.

Se dice que un problema de Sturm-Liouville es regular si p ( x ) , w ( x )> 0 , y p ( x ) , p ′ ( x ) , q ( x ) , w ( x ) son funciones continuas sobre el finito intervalo [ a , b ] , y el problema tiene condiciones de contorno separadas de la forma:

${\displaystyle \alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0\qquad \alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}>0,}$

( 2 )

${\displaystyle \beta _{1}y(b)\,+\,\beta _{2}y'(b)=0\qquad \beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}>0.}$

( 3 )

El resultado principal de la teoría de Sturm-Liouville establece que, para el problema regular de Sturm-Liouville ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ):

• Los valores propios λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ , ... son reales y pueden numerarse de modo que
  $${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots \to \infty ;}$$
• Correspondiente a cada valor propio λ _n es una función propia única (hasta un múltiplo constante) y _n ( x ) con exactamente n −1 ceros en ( a , b ) , denominada n- ésima solución fundamental .
• Las funciones propias normalizadas forman una base ortonormal bajo el producto interno ponderado en w en el espacio de Hilbert ${\displaystyle L^{2}([a,b],w(x)\,dx)}$. Eso es:
  $${\displaystyle \langle y_{n},y_{m}\rangle =\int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{mn},}$$
  donde δ _mn es el delta de Kronecker .

La teoría lleva el nombre de Jacques Charles François Sturm (1803-1855) y Joseph Liouville (1809-1882).

Reducción a la forma Sturm-Liouville

Se dice que la ecuación diferencial ( 1 ) está en forma de Sturm-Liouville o forma autoadjunta . Todas las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden pueden reformularse en la forma del lado izquierdo de ( 1 ) multiplicando ambos lados de la ecuación por un factor de integración apropiado (aunque no ocurre lo mismo con las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden , o si y es un vector ). A continuación se muestran algunos ejemplos.

Ecuación de Bessel

$${\displaystyle x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)y=0}$$

que se puede escribir en forma Sturm-Liouville (primero dividiendo por x, luego colapsando los dos primeros términos de la izquierda en un término) como

$${\displaystyle \left(xy'\right)'+\left(x-{\frac {\nu ^{2}}{x}}\right)y=0.}$$

Ecuación de Legendre

$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0}$$

que se puede poner fácilmente en forma Sturm-Liouville, ya que D/d x(1 - x ² ) = −2 x , entonces la ecuación de Legendre es equivalente a

$${\displaystyle \left(\left(1-x^{2}\right)y'\right)'+\nu (\nu +1)y=0}$$

Ecuación del sistema de dos cuerpos

$${\displaystyle \left(Ly'\right)'+Ly={\frac {1}{L}}}$$

La ecuación del sistema de dos cuerpos describe la evolución de un sistema de dos cuerpos bajo la influencia del torque. La forma de Sturm-Liouville de la ecuación ayuda a comprender el espectro del sistema de dos cuerpos. ^[1]

Ejemplo usando un factor de integración

$${\displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0}$$

Dividir por x ³ :

$${\displaystyle y''-{\frac {1}{x^{2}}}y'+{\frac {2}{x^{3}}}y=0}$$

Multiplicando todo por un factor integrador de

$${\displaystyle \mu (x)=\exp \left(\int -{\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}}}\right)=e^{{1}/{x}},}$$

da

$${\displaystyle e^{{1}/{x}}y''-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}y'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0}$$

que se puede poner fácilmente en forma Sturm-Liouville ya que

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{{1}/{x}}=-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}}$$

entonces la ecuación diferencial es equivalente a

$${\displaystyle \left(e^{{1}/{x}}y'\right)'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0.}$$

Factor de integración para la ecuación general de segundo orden

$${\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0}$$

Multiplicar por el factor integrador

$${\displaystyle \mu (x)={\frac {1}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,\mathrm {d} x\right),}$$

y luego recolectar da la forma Sturm-Liouville:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigl (}\mu (x)P(x)y'{\bigr )}+\mu (x)R(x)y=0,}$$

o, explícitamente:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,\mathrm {d} x\right)y'\right)+{\frac {R(x)}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,\mathrm {d} x\right)y=0.}$$

Ecuaciones de Sturm-Liouville como operadores diferenciales autoadjuntos

El mapeo definido por:

$${\displaystyle Lu=-{\frac {1}{w(x)}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x)\,{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)u\right)}$$

se puede ver como un operador lineal L mapeando una función u con otra función Lu , y se puede estudiar en el contexto del análisis funcional . De hecho, la ecuación ( 1 ) se puede escribir como

$${\displaystyle Lu=\lambda u.}$$

Este es precisamente el problema de los valores propios ; es decir, se buscan valores propios λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ ,… y los correspondientes vectores propios u ₁ , u ₂ , u ₃ ,… del operador L. La configuración adecuada para este problema es el espacio de Hilbert L 2 ( [ a , B ] , w ( X ) D X ) {\ Displaystyle L ^ {2} ([a, b], w (x) \, dx)} con producto escalar

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}g(x)w(x)\,\mathrm {d} x.}$$

En este espacio, L se define en funciones suficientemente suaves que satisfacen las condiciones de contorno regulares anteriores. Además, L es un operador autoadjunto :

$${\displaystyle \langle Lf,g\rangle =\langle f,Lg\rangle .}$$

Esto se puede ver formalmente usando la integración por partes dos veces, donde los términos de frontera desaparecen en virtud de las condiciones de frontera. Luego se deduce que los valores propios de un operador de Sturm-Liouville son reales y que las funciones propias de L correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales. Sin embargo, este operador no tiene límites y, por lo tanto, no es evidente la existencia de una base ortonormal de funciones propias. Para superar este problema, uno mira el resolutivo

$${\displaystyle \left(L-z\right)^{-1},\qquad z\in \mathbb {C} ,}$$

donde z se elige para ser un número real que no es un valor propio. Luego, calcular el resolutivo equivale a resolver la ecuación no homogénea, lo que se puede hacer usando la fórmula de variación de parámetros . Esto muestra que el resolutivo es un operador integral con un núcleo simétrico continuo (la función de Green del problema). Como consecuencia del teorema de Arzelà-Ascoli , este operador integral es compacto y la existencia de una secuencia de valores propios α _n que convergen a 0 y funciones propias que forman una base ortonormal se deduce del teorema espectral para operadores compactos . Finalmente, tenga en cuenta que

$${\displaystyle \left(L-z\right)^{-1}u=\alpha u,\qquad Lu=\left(z+\alpha ^{-1}\right)u,}$$

son equivalentes, por lo que podemos tomar ${\displaystyle \lambda =z+\alpha ^{-1}}$ con las mismas funciones propias.

Si el intervalo no está acotado, o si los coeficientes tienen singularidades en los puntos límite, se llama a L singular. En este caso, el espectro ya no consta únicamente de valores propios y puede contener un componente continuo. Todavía hay una expansión de función propia asociada (similar a la serie de Fourier frente a la transformada de Fourier). Esto es importante en la mecánica cuántica , ya que la ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo es un caso especial de una ecuación SL.

Aplicación a problemas de valores límite de segundo orden no homogéneos

Considere una ecuación diferencial lineal de segundo orden no homogénea general

$${\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=f}$$

para funciones dadas ${\displaystyle P(x),Q(x),R(x),f(x)}$. Como antes, esto se puede reducir al formulario SL${\displaystyle Ly=f}$: escribir un operador SL general como:

$${\displaystyle Lu={\frac {p}{w(x)}}u''+{\frac {p'}{w(x)}}u'+{\frac {q}{w(x)}}u,}$$

uno resuelve el sistema:

$${\displaystyle p=Pw,\quad p'=Qw,\quad q=Rw.}$$

Basta con resolver las dos primeras ecuaciones, lo que equivale a resolver ( Pw ) ′ = Qw , o

$${\displaystyle w'={\frac {Q-P'}{P}}w:=\alpha w.}$$

Una solucion es:

$${\displaystyle w=\exp \left(\int \alpha \,\mathrm {d} x\right),\quad p=P\exp \left(\int \alpha \,\mathrm {d} x\right),\quad q=R\exp \left(\int \alpha \,\mathrm {d} x\right).}$$

Dada esta transformación, queda uno por resolver:

$${\displaystyle Ly=f.}$$

En general, si se especifican las condiciones iniciales en algún punto, por ejemplo, y ( a ) = 0 y y ′ ( a ) = 0 , se puede resolver una ecuación diferencial de segundo orden usando métodos ordinarios y el teorema de Picard-Lindelöf asegura que el diferencial La ecuación tiene una solución única en una vecindad del punto donde se han especificado las condiciones iniciales.

Pero si en lugar de especificar valores iniciales en un solo punto , se desea especificar valores en dos puntos diferentes (los llamados valores de frontera), por ejemplo, y ( a ) = 0 e y ( b ) = 1 , el problema resulta ser mucho más difícil. Tenga en cuenta que mediante la adición de una función diferenciable conocido adecuado para Y , cuyos valores en una y b satisfacer las condiciones de contorno deseados, y la inyección dentro de la ecuación diferencial propuesto, se puede suponer sin pérdida de generalidad, que las condiciones de contorno son de la forma y ( a ) = 0 yy ( b ) = 0 .

Aquí entra en juego la teoría de Sturm-Liouville: de hecho, una gran clase de funciones f se puede expandir en términos de una serie de funciones propias ortonormales u _i del operador de Liouville asociado con los valores propios correspondientes λ _i :

$${\displaystyle f(x)=\sum _{i}\alpha _{i}u_{i}(x),\quad \alpha _{i}\in {\mathbb {R} }.}$$

Entonces, una solución a la ecuación propuesta es evidentemente:

$${\displaystyle y=\sum _{i}{\frac {\alpha _{i}}{\lambda _{i}}}u_{i}.}$$

Esta solución será válida solo en el intervalo abierto a < x < b , y puede fallar en los límites.

Ejemplo: serie de Fourier

Considere el problema de Sturm-Liouville:

${\displaystyle Lu=-{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}=\lambda u}$

( 4 )

porque las incógnitas son λ y u ( x ) . Para las condiciones de contorno, tomamos por ejemplo:

$${\displaystyle u(0)=u(\pi )=0.}$$

Observe que si k es cualquier número entero, entonces la función

$${\displaystyle u_{k}(x)=\sin kx}$$

es una solución con valor propio λ = k ² . Sabemos que las soluciones de un problema SL forman una base ortogonal , y sabemos por las series de Fourier que este conjunto de funciones sinusoidales es una base ortogonal. Dado que las bases ortogonales son siempre máximas (por definición), concluimos que el problema SL en este caso no tiene otros autovectores.

Dado lo anterior, resolvamos ahora el problema no homogéneo

$${\displaystyle Ly=x,\qquad x\in (0,\pi )}$$

con las mismas condiciones de contorno ${\displaystyle y(0)=y(\pi )=0}$. En este caso, debemos expandir f  ( x ) = x como una serie de Fourier. El lector puede comprobar, ya sea integrando ∫ e ^ikx x d x o consultando una tabla de transformadas de Fourier, que así obtenemos

$${\displaystyle Ly=\sum _{k=1}^{\infty }-2{\frac {\left(-1\right)^{k}}{k}}\sin kx.}$$

Esta serie de Fourier en particular es problemática debido a sus pobres propiedades de convergencia. No está claro a priori si la serie converge puntualmente. Debido al análisis de Fourier, dado que los coeficientes de Fourier son " sumables al cuadrado ", la serie de Fourier converge en L ^2, que es todo lo que necesitamos para que esta teoría en particular funcione. Mencionamos para el lector interesado que en este caso podemos confiar en un resultado que dice que las series de Fourier convergen en cada punto de diferenciabilidad, y en los puntos de salto (la función x , considerada como una función periódica, tiene un salto en  π ) converge al promedio de los límites izquierdo y derecho (ver convergencia de las series de Fourier ).

Por lo tanto, usando la fórmula ( 4 ), obtenemos la solución:

$${\displaystyle y=\sum _{k=1}^{\infty }2{\frac {(-1)^{k}}{k^{3}}}\sin kx={\tfrac {1}{6}}(x^{3}-\pi ^{2}x).}$$

En este caso, podríamos haber encontrado la respuesta usando la antidiferenciación , pero esto ya no es útil en la mayoría de los casos cuando la ecuación diferencial está en muchas variables.

Aplicación a ecuaciones diferenciales parciales

Modos normales

Ciertas ecuaciones diferenciales parciales se pueden resolver con la ayuda de la teoría SL. Supongamos que estamos interesados ​​en los modos de vibración de una membrana delgada, sostenida en un marco rectangular, 0 ≤ x ≤ L ₁ , 0 ≤ y ≤ L ₂ . La ecuación de movimiento para el desplazamiento de la membrana vertical, W ( x , y , t ) viene dada por la ecuación de onda :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial y^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial t^{2}}}.}$$

El método de separación de variables sugiere buscar primero soluciones de la forma simple W = X ( x ) × Y ( y ) × T ( t ) . Para tal función W, la ecuación diferencial parcial se convierte enX ″/X + Y ″/Y = 1/c ² T ″/T. Dado que los tres términos de esta ecuación son funciones de x , y , t por separado, deben ser constantes. Por ejemplo, el primer término da X ″ = λX para una constante  λ . Las condiciones de contorno ("mantenidas en un marco rectangular") son W = 0 cuando x = 0 , L ₁ o y = 0 , L ₂ y definen los problemas de valores propios SL más simples posibles como en el ejemplo, produciendo las "soluciones en modo normal". para W con dependencia armónica del tiempo,

$${\displaystyle W_{mn}(x,y,t)=A_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{L_{1}}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{L_{2}}}\right)\cos \left(\omega _{mn}t\right)}$$

donde m y n son distintos de cero enteros , A _mn son constantes arbitrarias, y

$${\displaystyle \omega _{mn}^{2}=c^{2}\left({\frac {m^{2}\pi ^{2}}{L_{1}^{2}}}+{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{2}^{2}}}\right).}$$

Las funciones W _mn forman una base para el espacio de Hilbert de soluciones (generalizadas) de la ecuación de onda; es decir, una solución arbitraria W se puede descomponer en una suma de estos modos, que vibran en sus frecuencias individuales ω _mn . Esta representación puede requerir una suma infinita convergente .

Ecuación lineal de segundo orden

Para un segundo orden lineal en una dimensión espacial y primer orden en el tiempo de la forma:

$${\displaystyle f(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+g(x){\frac {\partial u}{\partial x}}+h(x)u={\frac {\partial u}{\partial t}}+k(t)u,}$$

$${\displaystyle u(a,t)=u(b,t)=0,\qquad u(x,0)=s(x).}$$

Separando variables, asumimos que

$${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).}$$

Entonces nuestra ecuación diferencial parcial anterior se puede escribir como:

$${\displaystyle {\frac {{\hat {L}}X(x)}{X(x)}}={\frac {{\hat {M}}T(t)}{T(t)}}}$$

donde

$${\displaystyle {\hat {L}}=f(x){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}+g(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+h(x),\qquad {\hat {M}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}+k(t).}$$

Dado que, por definición, L̂ y X ( x ) son independientes del tiempo t y M̂ y T ( t ) son independientes de la posición x , entonces ambos lados de la ecuación anterior deben ser iguales a una constante:

$${\displaystyle {\hat {L}}X(x)=\lambda X(x),\qquad X(a)=X(b)=0,\qquad {\hat {M}}T(t)=\lambda T(t).}$$

La primera de estas ecuaciones debe resolverse como un problema de Sturm-Liouville en términos de las funciones propias X _n ( x ) y los valores propios λ _n . La segunda de estas ecuaciones se puede resolver analíticamente una vez que se conocen los valores propios.

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}T_{n}(t)={\bigl (}\lambda _{n}-k(t){\bigr )}T_{n}(t)}$$

$${\displaystyle T_{n}(t)=a_{n}\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right)}$$

$${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n}a_{n}X_{n}(x)\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right)}$$

$${\displaystyle a_{n}={\frac {{\bigl \langle }X_{n}(x),s(x){\bigr \rangle }}{{\bigl \langle }X_{n}(x),X_{n}(x){\bigr \rangle }}}}$$

donde

$${\displaystyle {\bigl \langle }y(x),z(x){\bigr \rangle }=\int _{a}^{b}y(x)z(x)w(x)\,\mathrm {d} x,}$$

$${\displaystyle w(x)={\frac {\exp \left(\int {\frac {g(x)}{f(x)}}\,\mathrm {d} x\right)}{f(x)}}.}$$

Representación de soluciones y cálculo numérico

La ecuación diferencial de Sturm-Liouville ( 1 ) con condiciones de contorno puede resolverse analíticamente, que puede ser exacta o proporcionar una aproximación, por el método de Rayleigh-Ritz , o por el método de matriz-variacional de Gerck et al. ^{[2] [3] [4]}

Numéricamente, también están disponibles una variedad de métodos. En casos difíciles, es posible que sea necesario realizar los cálculos intermedios con varios cientos de lugares decimales de precisión para obtener los valores propios correctamente con unos pocos lugares decimales.

• Métodos de disparo ^{[5] [6]}
• Método de diferencias finitas
• Método de series de potencias de parámetros espectrales ^[7]

Métodos de disparo

Los métodos de disparo proceden adivinando un valor de λ , resolviendo un problema de valor inicial definido por las condiciones de contorno en un punto final, digamos, a , del intervalo [ a , b ] , comparando el valor que toma esta solución en el otro punto final b con el otra condición de contorno deseada, y finalmente aumentar o disminuir λ según sea necesario para corregir el valor original. Esta estrategia no es aplicable para localizar valores propios complejos. ^{[ aclaración necesaria ]}

Método de series de potencia de parámetros espectrales

El método de series de potencia de parámetros espectrales (SPPS) utiliza una generalización del siguiente hecho sobre las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden: si y es una solución que no desaparece en ningún punto de [ a , b ] , entonces la función

$${\displaystyle y(x)\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{p(t)y(t)^{2}}}}$$

es una solución de la misma ecuación y es linealmente independiente de y . Además, todas las soluciones son combinaciones lineales de estas dos soluciones. En el algoritmo SPPS, uno debe comenzar con un valor arbitrario λ^∗
₀(a menudo λ^∗
₀= 0 ; no necesita ser un valor propio) y cualquier solución y ₀ de ( 1 ) con λ = λ^∗
₀que no desaparece en [ a , b ] . (Discusión a continuación de las formas de encontrar y ₀ y λ apropiados^∗
₀.) Dos secuencias de funciones X ^{( n )} ( t ) , X̃ ^{( n )} ( t ) en [ a , b ] , denominadas integrales iteradas , se definen recursivamente como sigue. Primero, cuando n = 0 , se consideran idénticamente iguales a 1 en [ a , b ] . Para obtener las siguientes funciones se multiplican alternativamente por1/py²
₀y wy²
₀e integrado, específicamente, para n > 0 :

${\displaystyle X^{(n)}(t)={\begin{cases}\displaystyle -\int _{a}^{x}X^{(n-1)}(t)p(t)^{-1}y_{0}(t)^{-2}\,\mathrm {d} t&n{\text{ odd}},\\[6pt]\displaystyle \quad \int _{a}^{x}X^{(n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,\mathrm {d} t&n{\text{ even}}\end{cases}}}$

( 5 )

${\displaystyle {\tilde {X}}^{(n)}(t)={\begin{cases}\displaystyle \quad \int _{a}^{x}{\tilde {X}}^{(n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,\mathrm {d} t&n{\text{ odd}},\\[6pt]\displaystyle -\int _{a}^{x}{\tilde {X}}^{(n-1)}(t)p(t)^{-1}y_{0}(t)^{-2}\,\mathrm {d} t&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$

( 6 )

Las integrales iteradas resultantes ahora se aplican como coeficientes en las siguientes dos series de potencias en  λ :

$${\displaystyle u_{0}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}{\tilde {X}}^{(2k)},}$$

$${\displaystyle u_{1}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}X^{(2k+1)}.}$$

Entonces, para cualquier λ (real o complejo), u ₀ y u ₁ son soluciones linealmente independientes de la ecuación correspondiente ( 1 ). (Las funciones p ( x ) y q ( x ) toma parte en esta construcción a través de su influencia en la elección de y ₀ ).

A continuación, se escogen los coeficientes c ₀ y c _{1 de} modo que la combinación y = c ₀ u ₀ + c ₁ u ₁ satisfaga la primera condición de frontera ( 2 ). Esto es simple de hacer ya que X ^{( n )} ( a ) = 0 y X̃ ^{( n )} ( a ) = 0 , para n > 0 . Los valores de X ^{( n )} ( b ) y X̃^{( n )} ( b )proporcione los valores de u ₀ ( b )y u ₁ ( b )y las derivadas u ′ ₀ ( b )y u ′ ₀ ( b ), por lo que la segunda condición de frontera ( 3 ) se convierte en una ecuación en una serie de potencias en λ. Para el trabajo numérico, se puede truncar esta serie a un número finito de términos, produciendo un polinomio calculable enλcuyas raíces son aproximaciones de los valores propios buscados.

Cuando λ = λ ₀ , esto se reduce a la construcción original descrita anteriormente para una solución linealmente independiente de una dada. Las representaciones ( 5 ) y ( 6 ) también tienen aplicaciones teóricas en la teoría de Sturm-Liouville. ^[7]

Construcción de una solución que no se desvanece

El método SPPS puede, en sí mismo, usarse para encontrar una solución inicial y ₀ . Considere la ecuación ( py ′) ′ = μqy ; es decir, q , w y λ se reemplazan en ( 1 ) por 0, - q y μ respectivamente. Entonces, la función constante 1 es una solución permanente correspondiente al valor propio μ ₀ = 0 . Si bien no hay garantía de que u ₀ o u ₁ no desaparezcan, la función compleja y ₀ = u ₀ +iu ₁ nunca desaparecerá porque dos soluciones linealmente independientes de una ecuación SL regular no pueden desaparecer simultáneamente como consecuencia del teorema de separación de Sturm . Este truco da una solución y ₀ de ( 1 ) para el valor λ ₀ = 0 . En la práctica, si ( 1 ) tiene coeficientes reales, las soluciones basadas en y ₀ tendrán partes imaginarias muy pequeñas que deben descartarse.

Ver también

• Modo normal
• Teoría de la oscilación
• Autoadjunto
• Variación de parámetros
• Teoría espectral de ecuaciones diferenciales ordinarias
• Teorema de Atkinson-Mingarelli

Referencias

1. Luo, Siwei (22 de junio de 2020). "El problema de Sturm-Liouville del sistema de dos cuerpos" . Revista de comunicaciones de física . 4 (6). doi : 10.1088 / 2399-6528 / ab9c30 .
2. Ed Gerck, AB d'Oliveira, HF de Carvalho. "Bariones pesados ​​como estados ligados de tres quarks". Lettere al Nuovo Cimento 38 (1): 27–32, septiembre de 1983.
3. Augusto B. d'Oliveira, Ed Gerck, Jason AC Gallas. "Solución de la ecuación de Schrödinger para estados ligados en forma cerrada". Physical Review A , 26: 1 (1), junio de 1982.
4. Robert F. O'Connell, Jason AC Gallas, Ed Gerck. "Leyes de escala para átomos de Rydberg en campos magnéticos". Physical Review Letters 50 (5): 324–327, enero de 1983.
5. Pryce, JD (1993). Solución numérica de problemas de Sturm-Liouville . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853415-9.
6. Ledoux, V .; Van Daele, M .; Berghe, G. Vanden (2009). "Cálculo eficiente de valores propios de Sturm-Liouville de alto índice para problemas de física". Computación. Phys. Comun . 180 : 532–554. arXiv : 0804.2605 . Código Bibliográfico : 2009CoPhC.180..241L . doi : 10.1016 / j.cpc.2008.10.001 .
7. Kravchenko, VV; Porter, RM (2010). "Serie de potencias de parámetros espectrales para problemas de Sturm-Liouville". Métodos matemáticos en las ciencias aplicadas . 33 (4): 459–468. arXiv : 0811.4488 . doi : 10.1002 / mma.1205 .

Lectura adicional

• "Teoría de Sturm-Liouville" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Hartman, Philip (2002). Ecuaciones diferenciales ordinarias (2 ed.). Filadelfia: SIAM . ISBN 978-0-89871-510-1.
• Polyanin, AD y Zaitsev, VF (2003). Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (2 ed.). Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0. (Capítulo 5)
• Teschl, Gerald (2009). Métodos matemáticos en mecánica cuántica; Con aplicaciones para operadores de Schrödinger . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4660-5. (consulte el Capítulo 9 para conocer los operadores SL singulares y las conexiones con la mecánica cuántica)
• Zettl, Anton (2005). Teoría de Sturm-Liouville . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-3905-5.
• Birkhoff, Garrett (1973). Un libro de consulta en análisis clásico . Cambridge, Massachusetts : Harvard University Press . ISBN 0-674-82245-5. (Véase el Capítulo 8, parte B, para obtener extractos de las obras de Sturm y Liouville y comentarios sobre ellas).
• Kravchenko, Vladislav (2020). Problemas directos e inversos de Sturm-Liouville: un método de solución . Cham: Birkhäuser . ISBN 978-3-030-47848-3.