Teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos es la rama de la lógica matemática que estudia los conjuntos , que pueden describirse informalmente como colecciones de objetos. Aunque los objetos de cualquier tipo pueden agruparse en un conjunto, la teoría de conjuntos, como rama de las matemáticas , se ocupa principalmente de aquellos que son relevantes para las matemáticas en su conjunto.
El estudio moderno de la teoría de conjuntos fue iniciado por los matemáticos alemanes Richard Dedekind y Georg Cantor en la década de 1870. En particular, a Georg Cantor se le considera comúnmente el fundador de la teoría de conjuntos. Los sistemas no formalizados investigados durante esta etapa inicial reciben el nombre de teoría de conjuntos ingenua . Después del descubrimiento de paradojas dentro de la teoría de conjuntos ingenua (como la paradoja de Russell, la paradoja de Cantor y la paradoja de Burali -Forti ) se propusieron varios sistemas axiomáticos a principios del siglo XX, de los cuales la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (con o sin laaxioma de elección ) sigue siendo el más conocido y estudiado.
La teoría de conjuntos se emplea comúnmente como un sistema fundamental para todas las matemáticas, particularmente en la forma de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección. [1] Además de su papel fundamental, la teoría de conjuntos también proporciona el marco para desarrollar una teoría matemática del infinito y tiene varias aplicaciones en informática (como en la teoría del álgebra relacional ), filosofía y semántica formal . Su atractivo fundacional, junto con sus paradojas , sus implicaciones para el concepto de infinito y sus múltiples aplicaciones, han hecho de la teoría de conjuntos un área de gran interés para los lógicos yfilósofos de las matemáticas . La investigación contemporánea sobre la teoría de conjuntos cubre una amplia gama de temas, que van desde la estructura de la recta numérica real hasta el estudio de la consistencia de los grandes cardenales .
Los temas matemáticos generalmente surgen y evolucionan a través de interacciones entre muchos investigadores. La teoría de conjuntos, sin embargo, fue fundada por un solo artículo en 1874 por Georg Cantor : " Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales ". [2] [3]
Desde el siglo V a. C., comenzando con el matemático griego Zenón de Elea en Occidente y los primeros matemáticos indios en Oriente, los matemáticos habían luchado con el concepto de infinito . Especialmente notable es la obra de Bernard Bolzano en la primera mitad del siglo XIX. [4] La comprensión moderna del infinito comenzó en 1870-1874, y fue motivada por el trabajo de Cantor en análisis real . [5] Una reunión de 1872 entre Cantor y Richard Dedekind influyó en el pensamiento de Cantor y culminó en el artículo de Cantor de 1874.
El trabajo de Cantor polarizó inicialmente a los matemáticos de su época. Mientras Karl Weierstrass y Dedekind apoyaron a Cantor, Leopold Kronecker , ahora visto como el fundador del constructivismo matemático , no lo hizo. La teoría de conjuntos cantoriana finalmente se generalizó, debido a la utilidad de los conceptos cantorianos, como la correspondencia uno a uno entre conjuntos, su prueba de que hay más números reales que enteros y el "infinito de infinitos" (" el paraíso de Cantor "). resultante de la operación del grupo de potencia . Esta utilidad de la teoría de conjuntos llevó al artículo "Mengenlehre", contribuido en 1898 por Arthur Schoenflies a Klein 's enciclopedia.
