Este artículo contiene una discusión de las paradojas de la teoría de conjuntos . Como ocurre con la mayoría de las paradojas matemáticas , generalmente revelan resultados matemáticos sorprendentes y contraintuitivos, en lugar de contradicciones lógicas reales dentro de la teoría axiomática de conjuntos moderna .
Lo esencial
Numeros cardinales
La teoría de conjuntos, tal como la concibió Georg Cantor, asume la existencia de conjuntos infinitos. Como esta suposición no puede probarse desde los primeros principios, ha sido introducida en la teoría de conjuntos axiomáticos por el axioma del infinito , que afirma la existencia del conjunto N de números naturales. Todo conjunto infinito que pueda enumerarse mediante números naturales tiene el mismo tamaño (cardinalidad) que N , y se dice que es contable. Ejemplos de conjuntos infinitos numerables son los números naturales, los números pares, los números primos y también todos los números racionales , es decir, las fracciones. Estos conjuntos tienen en común el número cardinal | N | = (aleph-nught), un número mayor que todo número natural.
Los números cardinales se pueden definir de la siguiente manera. Defina dos conjuntos para que tengan el mismo tamaño por: existe una biyección entre los dos conjuntos (una correspondencia uno a uno entre los elementos). Entonces, un número cardinal es, por definición, una clase que consta de todos los conjuntos del mismo tamaño. Tener el mismo tamaño es una relación de equivalencia , y los números cardinales son las clases de equivalencia .
Números ordinales
Además de la cardinalidad, que describe el tamaño de un conjunto, los conjuntos ordenados también forman parte de la teoría de conjuntos. El axioma de elección garantiza que cada conjunto puede estar bien ordenado , lo que significa que se puede imponer un orden total a sus elementos de modo que cada subconjunto no vacío tenga un primer elemento con respecto a ese orden. El orden de un conjunto bien ordenado se describe mediante un número ordinal . Por ejemplo, 3 es el número ordinal del conjunto {0, 1, 2} con el orden habitual 0 <1 <2; y ω es el número ordinal del conjunto de todos los números naturales ordenados de la forma habitual. Descuidando el orden, nos quedamos con el número cardinal | N | = | ω | = .
Los números ordinales se pueden definir con el mismo método utilizado para los números cardinales. Defina dos conjuntos bien ordenados para que tengan el mismo tipo de orden : existe una biyección entre los dos conjuntos respetando el orden: los elementos más pequeños se asignan a los elementos más pequeños. Entonces, un número ordinal es, por definición, una clase que consta de todos los conjuntos bien ordenados del mismo tipo de orden. Tener el mismo tipo de orden es una relación de equivalencia en la clase de conjuntos bien ordenados, y los números ordinales son las clases de equivalencia.
Dos conjuntos del mismo tipo de orden tienen la misma cardinalidad. Lo contrario no es cierto en general para conjuntos infinitos: es posible imponer diferentes ordenamientos de pozo en el conjunto de números naturales que dan lugar a diferentes números ordinales.
Existe un ordenamiento natural en los ordinales, que en sí mismo es un ordenamiento correcto. Dado cualquier α ordinal, se puede considerar que el conjunto de todos los ordinales es menor que α. Este conjunto resulta tener el número ordinal α. Esta observación se utiliza para una forma diferente de introducir los ordinales, en la que un ordinal se equipara con el conjunto de todos los ordinales más pequeños. Esta forma de número ordinal es, por tanto, un representante canónico de la forma anterior de clase de equivalencia.
Conjuntos de potencia
Al formar todos los subconjuntos de un conjunto S (todas las posibles elecciones de sus elementos), obtenemos el conjunto de potencias P ( S ). Georg Cantor demostró que el conjunto de potencias es siempre mayor que el conjunto, es decir, | P ( S ) | > | S |. Un caso especial del teorema de Cantor demuestra que el conjunto de todos los números reales R no se puede enumerar mediante números naturales. R es incontable: | R | > | N |.
Paradojas del conjunto infinito
En lugar de basarse en descripciones ambiguas como "lo que no se puede ampliar" o "aumentar sin límite", la teoría de conjuntos proporciona definiciones para el término conjunto infinito para dar un significado inequívoco a frases como "el conjunto de todos los números naturales es infinito". . Al igual que para los conjuntos finitos , la teoría hace más definiciones que nos permiten comparar consistentemente dos conjuntos infinitos en cuanto a si un conjunto es "más grande que", "más pequeño que" o "del mismo tamaño que" el otro. Pero no toda intuición con respecto al tamaño de conjuntos finitos se aplica al tamaño de conjuntos infinitos, lo que lleva a varios resultados aparentemente paradójicos en cuanto a enumeración, tamaño, medida y orden.
Paradojas de la enumeración
Antes de que se introdujera la teoría de conjuntos, la noción del tamaño de un conjunto había sido problemática. Ha sido discutido por Galileo Galilei y Bernard Bolzano , entre otros. ¿Hay tantos números naturales como cuadrados de números naturales cuando se miden mediante el método de enumeración?
- La respuesta es sí, porque para cada número natural n hay un número cuadrado n 2 , y también al revés.
- La respuesta es no, porque los cuadrados son un subconjunto propio de los naturales: cada cuadrado es un número natural, pero hay números naturales, como 2, que no son cuadrados de números naturales.
Al definir la noción del tamaño de un conjunto en términos de su cardinalidad , la cuestión puede resolverse. Dado que existe una biyección entre los dos conjuntos involucrados, esto se deriva directamente de la definición de cardinalidad de un conjunto.
Consulte la paradoja de Hilbert del Grand Hotel para obtener más información sobre las paradojas de la enumeración.
Je le vois, mais je ne crois pas
"Lo veo pero no creo", escribió Cantor a Richard Dedekind después de demostrar que el conjunto de puntos de un cuadrado tiene la misma cardinalidad que el de los puntos en un solo borde del cuadrado: la cardinalidad del continuo .
Esto demuestra que el "tamaño" de los conjuntos definido por la cardinalidad por sí sola no es la única forma útil de comparar conjuntos. La teoría de la medida proporciona una teoría del tamaño más matizada que se ajusta a nuestra intuición de que la longitud y el área son medidas de tamaño incompatibles.
La evidencia sugiere fuertemente que Cantor confiaba bastante en el resultado en sí y que su comentario a Dedekind se refiere en cambio a sus preocupaciones todavía persistentes sobre la validez de su prueba. [1] Sin embargo, el comentario de Cantor también serviría muy bien para expresar la sorpresa que tantos matemáticos posteriores a él han experimentado al encontrar por primera vez un resultado que es tan contrario a la intuición.
Paradojas del buen orden
En 1904 Ernst Zermelo demostró mediante el axioma de elección (que se introdujo por este motivo) que todos los conjuntos pueden estar bien ordenados. En 1963 Paul J. Cohen demostró que en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección no es posible probar la existencia de un buen ordenamiento de los números reales.
Sin embargo, la capacidad de ordenar bien cualquier conjunto permite realizar ciertas construcciones que se han denominado paradójicas. Un ejemplo es la paradoja de Banach-Tarski , un teorema ampliamente considerado no intuitivo. Establece que es posible descomponer una bola de radio fijo en un número finito de piezas y luego mover y volver a ensamblar esas piezas mediante traslaciones y rotaciones ordinarias (sin escalado) para obtener dos copias de una copia original. La construcción de estas piezas requiere el axioma de elección; las piezas no son regiones simples de la pelota, sino subconjuntos complicados .
Paradojas de la supertarea
En la teoría de conjuntos, un conjunto infinito no se considera creado por algún proceso matemático como "agregar un elemento" que luego se lleva a cabo "un número infinito de veces". En cambio, se dice que un conjunto infinito particular (como el conjunto de todos los números naturales ) ya existe, "por decreto", como una suposición o un axioma. Dado este conjunto infinito, se demuestra que existen también otros conjuntos infinitos, como consecuencia lógica. Pero sigue siendo una cuestión filosófica natural contemplar alguna acción física que realmente se complete después de un número infinito de pasos discretos; y la interpretación de esta cuestión utilizando la teoría de conjuntos da lugar a las paradojas de la supertarea.
El diario de Tristram Shandy
Tristram Shandy , el héroe de una novela de Laurence Sterne , escribe su autobiografía tan concienzudamente que le lleva un año relatar los acontecimientos de un día. Si es mortal, nunca podrá terminar; pero si viviera para siempre, ninguna parte de su diario quedaría sin escribir, ya que a cada día de su vida le correspondería un año dedicado a la descripción de ese día.
La paradoja de Ross-Littlewood
Una versión aumentada de este tipo de paradoja desplaza el final infinitamente remoto a un tiempo finito. Llene un depósito enorme con bolas enumeradas por los números del 1 al 10 y saque la bola número 1. Luego agregue las bolas enumeradas por los números 11 al 20 y saque el número 2. Continúe agregando bolas enumeradas por los números 10 n - 9 a 10 n y para eliminar el número de bola n para todos los números naturales n = 3, 4, 5, .... Deje que la primera transacción dure media hora, deje que la segunda transacción dure un cuarto de hora, y así sucesivamente, de modo que todas las transacciones finalicen después de una hora. Evidentemente, el juego de bolas en el depósito aumenta sin límite. Sin embargo, después de una hora el depósito está vacío porque para cada bola se conoce el tiempo de extracción.
La paradoja aumenta aún más por la importancia de la secuencia de eliminación. Si las bolas no se retiran en la secuencia 1, 2, 3, ... sino en la secuencia 1, 11, 21, ... después de una hora infinitas bolas pueblan el depósito, aunque la misma cantidad de material que antes ha sido movido.
Paradojas de prueba y definibilidad
A pesar de su utilidad para resolver cuestiones relativas a los conjuntos infinitos, la teoría de conjuntos ingenua tiene algunos defectos fatales. En particular, es presa de paradojas lógicas como las que expone la paradoja de Russell . El descubrimiento de estas paradojas reveló que no se puede decir que todos los conjuntos que pueden describirse en el lenguaje de la teoría de conjuntos ingenua existan sin crear una contradicción. El siglo XX vio una resolución a estas paradojas en el desarrollo de las diversas axiomatizaciones de teorías de conjuntos como ZFC y NBG de uso común en la actualidad. Sin embargo, la brecha entre el lenguaje muy formalizado y simbólico de estas teorías y nuestro uso informal típico del lenguaje matemático da como resultado varias situaciones paradójicas, así como la cuestión filosófica de qué es exactamente de lo que tales sistemas formales se proponen realmente hablar.
Primeras paradojas: el conjunto de todos los conjuntos
En 1897, el matemático italiano Cesare Burali-Forti descubrió que no existe un conjunto que contenga todos los números ordinales. Como cada número ordinal está definido por un conjunto de números ordinales más pequeños, el conjunto bien ordenado Ω de todos los números ordinales (si existe) se ajusta a la definición y es en sí mismo un ordinal. Por otro lado, ningún número ordinal puede contenerse a sí mismo, por lo que Ω no puede ser un ordinal. Por lo tanto, el conjunto de todos los números ordinales no puede existir.
A finales del siglo XIX, Cantor era consciente de la inexistencia del conjunto de todos los números cardinales y del conjunto de todos los números ordinales. En cartas a David Hilbert y Richard Dedekind , escribió sobre conjuntos inconsistentes, cuyos elementos no pueden considerarse como todos juntos, y usó este resultado para demostrar que todo conjunto consistente tiene un número cardinal.
Después de todo esto, la versión de la paradoja del "conjunto de todos los conjuntos" concebida por Bertrand Russell en 1903 condujo a una grave crisis en la teoría de conjuntos. Russell reconoció que el enunciado x = x es verdadero para todos los conjuntos y, por tanto, el conjunto de todos los conjuntos está definido por { x | x = x }. En 1906 construyó varios conjuntos de paradojas, el más famoso de los cuales es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. El propio Russell explicó esta idea abstracta mediante algunas imágenes muy concretas. Un ejemplo, conocido como la paradoja del barbero , dice: El barbero que afeita a todos y solo a los hombres que no se afeitan a sí mismos tiene que afeitarse solo si no se afeita solo.
Existen estrechas similitudes entre la paradoja de Russell en la teoría de conjuntos y la paradoja de Grelling-Nelson , que demuestra una paradoja en el lenguaje natural.
Paradojas por cambio de idioma
La paradoja de König
En 1905, el matemático húngaro Julius König publicó una paradoja basada en el hecho de que solo hay un número contable de definiciones finitas. Si imaginamos los números reales como un conjunto bien ordenado, esos números reales que pueden definirse finitamente forman un subconjunto. Por tanto, en este orden de pozo debería haber un primer número real que no sea finitamente definible. Esto es paradójico, porque este número real acaba de ser definido de manera finita por la última oración. Esto conduce a una contradicción en la teoría de conjuntos ingenua .
Esta paradoja se evita en la teoría de conjuntos axiomáticos. Aunque es posible representar una proposición sobre un conjunto como un conjunto, mediante un sistema de códigos conocido como números de Gödel , no existe una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos que se mantiene exactamente cuando es un código para una proposición finita sobre un conjunto, es un conjunto, y sostiene para . Este resultado se conoce como teorema de indefinibilidad de Tarski ; se aplica a una amplia clase de sistemas formales, incluidas todas las axiomatizaciones comúnmente estudiadas de la teoría de conjuntos.
La paradoja de Richard
En el mismo año, el matemático francés Jules Richard utilizó una variante del método diagonal de Cantor para obtener otra contradicción en la teoría de conjuntos ingenua. Considere el conjunto A de todas las aglomeraciones finitas de palabras. El conjunto E de todas las definiciones finito de números reales es un subconjunto de A . Como A es contable, por lo que es E . Sea p el n- ésimo decimal del n- ésimo número real definido por el conjunto E ; formamos un número N que tiene cero para la parte integral y p + 1 para el n- ésimo decimal si p no es igual a 8 o 9, y la unidad si p es igual a 8 o 9. Este número N no está definido por el establezca E porque difiere de cualquier número real finitamente definido, es decir, del n- ésimo número por el n- ésimo dígito. Pero N ha sido definido por un número finito de palabras en este párrafo. Por lo tanto, debe estar en el conjunto E . Eso es una contradicción.
Al igual que con la paradoja de König, esta paradoja no se puede formalizar en la teoría de conjuntos axiomáticos porque requiere la capacidad de decir si una descripción se aplica a un conjunto particular (o, de manera equivalente, decir si una fórmula es realmente la definición de un conjunto único).
Paradoja de Löwenheim y Skolem
Basado en el trabajo del matemático alemán Leopold Löwenheim (1915), el lógico noruego Thoralf Skolem demostró en 1922 que toda teoría consistente del cálculo de predicados de primer orden , como la teoría de conjuntos, tiene un modelo como mucho contable . Sin embargo, el teorema de Cantor prueba que hay incontables conjuntos. La raíz de esta aparente paradoja es que la contabilidad o no contabilización de un conjunto no siempre es absoluta , sino que puede depender del modelo en el que se mide la cardinalidad. Es posible que un conjunto sea incontable en un modelo de teoría de conjuntos pero contable en un modelo más grande (porque las biyecciones que establecen la contabilidad están en el modelo más grande pero no en el más pequeño).
Ver también
- Prueba de imposibilidad
- Paradoja de la baya
Notas
- ^ FQ Gouvêa , "¿Se sorprendió Cantor?" , American Mathematical Monthly , 118 , marzo de 2011, 198–209.
Referencias
- G. Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathischen und philosophischen Inhalts , E. Zermelo (Ed.), Olms, Hildesheim 1966.
- H. Meschkowski, W. Nilson: Georg Cantor - Briefe , Springer, Berlín 1991.
- A. Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre , Springer, Berlín 1923.
- AA Fraenkel, A. Levy: Teoría de conjuntos abstractos , Holanda Septentrional, Amsterdam 1976.
- F. Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre , Chelsea, Nueva York 1965.
- B. Russell: Los principios de las matemáticas I , Cambridge 1903.
- B. Russell: Sobre algunas dificultades en la teoría de números transfinitos y tipos de órdenes , Proc. London Math. Soc. (2) 4 (1907) 29-53.
- PJ Cohen: Teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo , Benjamin, Nueva York 1966.
- S. Wagon: La paradoja de Banach-Tarski , Cambridge University Press, Cambridge 1985.
- AN Whitehead , B. Russell: Principia Mathematica I , Cambridge Univ. Press, Cambridge 1910, pág. 64.
- E. Zermelo: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung , Math. Ana. 65 (1908) pág. 107-128.
enlaces externos
- Principia Mathematica
- Paradojas de la definibilidad de Timothy Gowers
- "Paradoja de Russell" . Enciclopedia de Filosofía de Internet .
- "Paradoja de Russell-Myhill" . Enciclopedia de Filosofía de Internet .