Proporción de plata
En matemáticas , dos cantidades están en la proporción de plata (o media de plata ) [1] [2] si la proporción de la menor de esas dos cantidades a la cantidad mayor es la misma que la proporción de la cantidad mayor a la suma de la cantidad menor y dos veces mayor (ver más abajo). Esto define la proporción de plata como una constante matemática irracional , cuyo valor de uno más la raíz cuadrada de 2 es aproximadamente 2.4142135623. Su nombre es una alusión a la proporción áurea ; de forma análoga a la forma en que la proporción áurea es la proporción límite de números de Fibonacci consecutivos, la proporción de plata es la proporción límite de números Pell consecutivos . La relación de plata se denota por δ S .
Los matemáticos han estudiado la proporción de plata desde la época de los griegos (aunque quizás sin darle un nombre especial hasta hace poco) debido a sus conexiones con la raíz cuadrada de 2, sus convergentes, números triangulares cuadrados , números Pell, octágonos y similares.
Los convergentes de esta fracción continua ( 2 / 1 , 5 / 2 , 12 / 5 , 29 / 12 , 70 / 29 , ...) son relaciones de números consecutivos Pell. Estas fracciones proporcionan aproximaciones racionales precisas de la proporción de plata, análoga a la aproximación de la proporción áurea por proporciones de números de Fibonacci consecutivos.
El rectángulo plateado está conectado al octágono regular . Si un octágono regular se divide en dos trapezoides isósceles y un rectángulo, entonces el rectángulo es un rectángulo plateado con una relación de aspecto de 1: δ S , y los 4 lados de los trapezoides están en una relación de 1: 1: 1: δ S . Si la longitud del borde de un octágono regular es t , entonces el espacio del octágono (la distancia entre lados opuestos) es δ S t , y el área del octágono es 2 δ S t 2 . [3]
Usando la fórmula cuadrática , se pueden obtener dos soluciones. Debido a que δ S es la razón de cantidades positivas, es necesariamente positivo, entonces,
La proporción de plata es un número de Pisot-Vijayaraghavan ( número de PV), ya que su conjugado 1 - √ 2 = −1 / δ S ≈ −0.41 tiene un valor absoluto menor que 1. De hecho, es el segundo número de PV cuadrático más pequeño después del número de oro proporción. Esto significa la distancia desde δ n
Sal entero más cercano es 1 / δ n
S≈ 0,41 n . Por lo tanto, la secuencia de partes fraccionarias de δ n
S, n = 1, 2, 3, ... (tomado como elementos del toro) converge. En particular, esta secuencia no está equidistribuida mod 1 .
