En matemáticas , particularmente en geometría algebraica , análisis complejo y teoría algebraica de números , una variedad abeliana es una variedad algebraica proyectiva que también es un grupo algebraico , es decir, tiene una ley de grupo que puede ser definida por funciones regulares . Las variedades abelianas se encuentran al mismo tiempo entre los objetos más estudiados en geometría algebraica y herramientas indispensables para muchas investigaciones sobre otros temas en geometría algebraica y teoría de números.
Una variedad abeliana puede definirse mediante ecuaciones que tienen coeficientes en cualquier campo ; entonces se dice que la variedad está definida sobre ese campo. Históricamente, las primeras variedades abelianas que se estudiaron fueron aquellas definidas sobre el campo de los números complejos . Tales variedades abelianas resultan ser exactamente esos toros complejos que pueden incrustarse en un espacio proyectivo complejo .
Las variedades abelianas definidas sobre campos numéricos algebraicos son un caso especial, que también es importante desde el punto de vista de la teoría de números. Las técnicas de localización llevan naturalmente de variedades abelianas definidas sobre campos numéricos a otras definidas sobre campos finitos y varios campos locales . Dado que un campo numérico es el campo fraccionario de un dominio de Dedekind , para cualquier primo distinto de cero de su dominio de Dedekind, hay un mapa del dominio de Dedekind al cociente del dominio de Dedekind por el primo, que es un campo finito para todos los primos finitos. Esto induce un mapa del campo de fracción a cualquier campo finito. Dada una curva con ecuación definida sobre el campo numérico, podemos aplicar este mapa a los coeficientes para obtener una curva definida sobre algún campo finito, donde las opciones de campo finito corresponden a los números primos finitos del campo numérico.
Las variedades abelianas aparecen naturalmente como variedades jacobianas (los componentes conectados de cero en las variedades de Picard ) y variedades albanesas de otras variedades algebraicas. La ley de grupo de una variedad abeliana es necesariamente conmutativa y la variedad no es singular . Una curva elíptica es una variedad abeliana de dimensión 1. Las variedades abelianas tienen dimensión Kodaira 0.
A principios del siglo XIX, la teoría de las funciones elípticas consiguió sentar las bases de la teoría de las integrales elípticas , y esto dejó abierta una vía evidente de investigación. Las formas estándar para integrales elípticas involucraban las raíces cuadradas de polinomios cúbicos y cuárticos . Cuando esos fueran reemplazados por polinomios de mayor grado, digamos quínticos , ¿qué pasaría?
En el trabajo de Niels Abel y Carl Jacobi , se formuló la respuesta: esto implicaría funciones de dos variables complejas , que tienen cuatro períodos independientes (es decir, vectores de período). Esto dio el primer vistazo de una variedad abeliana de dimensión 2 (una superficie abeliana ): lo que ahora se llamaría el jacobiano de una curva hiperelíptica de género 2 .