Teorema de los seis exponenciales
En matemáticas , específicamente en la teoría de números trascendental , el teorema de los seis exponenciales es un resultado que, dadas las condiciones adecuadas en los exponentes, garantiza la trascendencia de al menos uno de un conjunto de exponenciales.
Si x 1 , x 2 , ..., x d son d números complejos que son linealmente independientes de los números racionales , y y 1 , y 2 , ..., y l son l números complejos que también son linealmente independientes de los números racionales. números racionales, y si dl > d + l , entonces al menos uno de los siguientes números dl es trascendental :
El caso más interesante es cuando d = 3 y l = 2, en cuyo caso hay seis exponenciales, de ahí el nombre del resultado. El teorema es más débil que la conjetura de cuatro exponenciales relacionada, pero hasta ahora no probada , en la que la desigualdad estricta dl > d + l se reemplaza con dl ≥ d + l , lo que permite d = l = 2.
El teorema puede expresarse en términos de logaritmos introduciendo el conjunto L de logaritmos de números algebraicos :
El teorema entonces dice que si λ ij son elementos de L para i = 1, 2 y j = 1, 2, 3, tales que λ 11 , λ 12 y λ 13 son linealmente independientes de los números racionales, y λ 11 y λ 21 también son linealmente independientes de los números racionales, entonces la matriz
Un caso especial del resultado donde x 1 , x 2 y x 3 son logaritmos de números enteros positivos , y 1 = 1, y y 2 es real , fue mencionado por primera vez en un artículo de Leonidas Alaoglu y Paul Erdős de 1944 en el que Trate de demostrar que la proporción de números consecutivos colosalmente abundantes es siempre prima . Afirmaron que Carl Ludwig Siegel conocía una prueba de este caso especial, pero no está registrado. [1] Utilizando el caso especial, logran demostrar que la proporción de números consecutivos colosalmente abundantes es siempre primo o semiprimo .
