En matemáticas, la fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel (o fórmula de masa de Minkowski-Siegel ) es una fórmula para la suma de los pesos de las redes ( formas cuadráticas ) en un género , ponderada por los recíprocos de los órdenes de sus grupos de automorfismo . La fórmula de masa se da a menudo para formas cuadráticas integrales, aunque puede generalizarse a formas cuadráticas sobre cualquier campo numérico algebraico.
En 0 y 1 dimensiones, la fórmula de masa es trivial, en 2 dimensiones es esencialmente equivalente a las fórmulas de números de clase de Dirichlet para campos cuadráticos imaginarios , y en 3 dimensiones Gotthold Eisenstein dio algunos resultados parciales . La fórmula de masa en dimensiones superiores fue dada por primera vez por HJS Smith ( 1867 ), aunque sus resultados fueron olvidados durante muchos años. Fue redescubierto por H. Minkowski ( 1885 ), y CL Siegel ( 1935 ) encontró y corrigió un error en el artículo de Minkowski .
Muchas versiones publicadas de la fórmula de masas tienen errores; en particular, las densidades 2-ádicas son difíciles de acertar, y a veces se olvida que los casos triviales de las dimensiones 0 y 1 son diferentes de los casos de dimensión al menos 2. Conway y Sloane (1988) dan una explicación expositiva y precisa declaración de la fórmula de masa para formas cuadráticas integrales, que es confiable porque la verifican en un gran número de casos explícitos.
Para pruebas recientes de la fórmula de masas, ver ( Kitaoka 1999 ) y ( Eskin, Rudnick & Sarnak 1991 ).
La fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel es esencialmente el término constante de la fórmula de Weil-Siegel .
Declaración de la fórmula de masa
Si f es una forma cuadrática integral definida positiva n- dimensional (o rejilla) entonces la masa de su género se define como
donde la suma es sobre todas las formas integralmente desiguales en el mismo género que f , y Aut (Λ) es el grupo de automorfismos de Λ. La forma de la fórmula de masa dada por Conway y Sloane (1988) establece que para n ≥ 2 la masa está dada por
donde m p ( f ) es la masa p de f , dada por
para r suficientemente grande , donde p s es la potencia más alta de p dividiendo el determinante de f . El número N ( p r ) es el número de n por n matrices X con coeficientes que son enteros mod p r tales que
donde A es la matriz de Gram de f , o en otras palabras, el orden del grupo de automorfismos de la forma reducida mod p r .
Algunos autores establecen la fórmula de masa en términos de la densidad p -ádica
en lugar de p -mass. La masa p es invariante en el cambio de escala f, pero la densidad p no lo es.
En los casos (triviales) de dimensión 0 o 1, la fórmula de masa necesita algunas modificaciones. El factor 2 al frente representa el número de Tamagawa del grupo ortogonal especial, que es solo 1 en las dimensiones 0 y 1. Además, el factor 2 frente a m p ( f ) representa el índice del grupo ortogonal especial en la ortogonal grupo, que es solo 1 en 0 dimensiones.
Evaluación de la masa
La fórmula de la masa da la masa como un producto infinito sobre todos los primos. Esto se puede reescribir como un producto finito de la siguiente manera. Para todos menos un número finito de primos (aquellos que no dividen 2 det ( ƒ )) la p -masa m p ( ƒ ) es igual a la p-masa estándar std p ( ƒ ), dada por
- (para n = dim ( ƒ ) even)
- (para n = dim ( ƒ ) impar)
donde el símbolo de Legendre en la segunda línea se interpreta como 0 si p divide 2 det ( ƒ ).
Si todas las p -masas tienen su valor estándar, entonces la masa total es la masa estándar
- (Para n impares)
- (Para n pares)
dónde
- D = (−1) n / 2 det ( ƒ )
Los valores de la función zeta de Riemann para enteros pares s se dan en términos de números de Bernoulli por
Entonces, la masa de f se da como un producto finito de números racionales como
Evaluación de la masa p
Si la forma f tiene una descomposición de Jordan p-ádica
donde q corre a través de poderes de p y f q tiene primer determinante a p y dimensión n ( q ), entonces el p -peso está dada por
Aquí n (II) es la suma de las dimensiones de todos los componentes de Jordan de tipo 2 y p = 2, y n (I, I) es el número total de pares de constituyentes adyacentes f q , f 2 q que son ambos de tipo I.
El factor M p ( f q ) se llama factor diagonal y es una potencia de p multiplicada por el orden de un cierto grupo ortogonal sobre el campo con p elementos. Para p impar, su valor viene dado por
cuando n es impar, o
cuando n es par y (−1) n / 2 d q es un residuo cuadrático, o
cuando n es par y (−1) n / 2 d q es un no residuo cuadrático.
Para p = 2, el factor diagonal M p ( f q ) es notoriamente complicado de calcular. (La notación es engañosa ya que depende no solo de f q sino también de f 2 q y f q / 2. )
- Decimos que f q es impar si representa un número entero 2-ádico impar, e incluso en caso contrario.
- El octanaje de f q es un número entero mod 8; si f q es par, su valor de octano es 0 si el determinante es +1 o −1 mod 8, y es 4 si el determinante es +3 o −3 mod 8, mientras que si f q es impar se puede diagonalizar y su octanaje el valor es entonces el número de entradas diagonales que son 1 mod 4 menos el número que son 3 mod 4.
- Decimos que f q es obligado si al menos uno de f 2 Q y F q / 2 es impar, y decimos que es libre de otra manera.
- El número entero t se define de modo que la dimensión de f q sea 2 t si f q es par, y 2 t + 1 o 2 t + 2 si f q es impar.
Entonces, el factor diagonal M p ( f q ) se da como sigue.
cuando la forma está ligada o tiene un valor de octano +2 o -2 mod 8 o
cuando la forma es libre y tiene un octanaje de -1 o 0 o 1 mod 8 o
cuando la forma es libre y tiene un octanaje de −3 o 3 o 4 mod 8.
Evaluación de ζ D ( s )
Los valores requeridos de la serie de Dirichlet ζ D ( s ) se pueden evaluar de la siguiente manera. Escribimos χ para el carácter de Dirichlet con χ ( m ) dado por 0 si m es par, y el símbolo de Jacobi si m es impar. Escribimos k para el módulo de este carácter y k 1 para su conductor, y ponemos χ = χ 1 ψ donde χ 1 es el carácter principal mod k y ψ es un carácter primitivo mod k 1 . Luego
La ecuación funcional para la serie L es
donde G es la suma de Gauss
Si s es un entero positivo, entonces
donde B s ( x ) es un polinomio de Bernoulli .
Ejemplos de
Para el caso de celosías incluso unimodulares Λ de dimensión n > 0 divisible por 8, la fórmula de masa es
donde B k es un número de Bernoulli .
Dimensión n = 0
La fórmula anterior falla para n = 0 y, en general, la fórmula de masa debe modificarse en los casos triviales cuando la dimensión es como máximo 1. Para n = 0, solo hay una celosía, la celosía cero, de peso 1, por lo que la masa total es 1.
Dimensión n = 8
La fórmula de masa da la masa total como
Existe exactamente una celosía unimodular par de dimensión 8, la celosía E8 , cuyo grupo de automorfismo es el grupo de Weyl de E 8 de orden 696729600, por lo que esto verifica la fórmula de masa en este caso. Smith originalmente dio una prueba no constructiva de la existencia de una red incluso unimodular de dimensión 8 utilizando el hecho de que la masa no es cero.
Dimensión n = 16
La fórmula de masa da la masa total como
Hay dos celosías unimodulares pares de dimensión 16, una con sistema de raíces E 8 2 y grupo de automorfismo de orden 2 × 696729600 2 = 970864271032320000, y una con sistema de raíces D 16 y grupo de automorfismo de orden 2 15 16! = 685597979049984000.
Entonces la fórmula de masa es
Dimensión n = 24
Hay 24 celosías incluso unimodulares de dimensión 24, llamadas celosías de Niemeier . La fórmula de masa para ellos se comprueba en ( Conway y Sloane 1998 , págs. 410–413).
Dimensión n = 32
La masa en este caso es grande, más de 40 millones. Esto implica que hay más de 80 millones incluso de celosías unimodulares de dimensión 32, ya que cada una tiene un grupo de automorfismos de orden de al menos 2, por lo que contribuye como máximo 1/2 a la masa. Al refinar este argumento, King (2003) demostró que existen más de mil millones de tales redes. En dimensiones superiores, la masa, y por tanto el número de celosías, aumenta muy rápidamente.
Generalizaciones
Siegel dio una fórmula más general que cuenta el número ponderado de representaciones de una forma cuadrática por formas en algún género; la fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel es el caso especial cuando una forma es la forma cero.
Tamagawa mostró que la fórmula de masa era equivalente a la afirmación de que el número de Tamagawa del grupo ortogonal es 2, lo que equivale a decir que el número de Tamagawa de su cubierta simplemente conectada del grupo de espín es 1. André Weil conjetura de manera más general que el Tamagawa número de cualquier grupo semisimple simplemente conectado es 1 , y esta conjetura fue probada por Kottwitz en 1988.
King (2003) dio una fórmula de masa para celosías unimodulares sin raíces (o con un sistema de raíces dado).
Ver también
Referencias
- Conway, JH ; Sloane, NJA (1998) , Empaquetaduras , celosías y grupos de esferas , Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5
- Conway, JH; Sloane, NJA (1988), "Low-Dimensional Lattices. IV. The Mass Formula", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas , 419 (1988): 259–286, Bibcode : 1988RSPSA.419..259C , CiteSeerX 10.1.1.24.2955 , doi : 10.1098 / rspa.1988.0107 , JSTOR 2398465
- Eskin, Alex; Rudnick, Zeév; Sarnak, Peter (1991), "Una prueba de la fórmula de ponderación de Siegel.", Avisos internacionales de investigación en matemáticas , 1991 (5): 65–69, doi : 10.1155 / S1073792891000090 , MR 1131433
- King, Oliver (2003), "Una fórmula de masa para celosías unimodulares sin raíces", Mathematics of Computation , 72 (242): 839–863, arXiv : math.NT / 0012231 , Bibcode : 2003MaCom..72..839K , doi : 10.1090 / S0025-5718-02-01455-2.
- Kitaoka, Yoshiyuki (1999), Aritmética de formas cuadráticas , Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge: Cambridge Univ. Prensa, ISBN 978-0-521-64996-4
- Minkowski, Hermann (1885), "Untersuchungen über quadratische Formen I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus Champions", Acta Mathematica , 7 (1): 201-258, doi : 10.1007 / BF02402203
- Siegel, Carl Ludwig (1935), "Uber Die Analytische Theorie Der Quadratischen Formen", Annals of Mathematics , Second Series, 36 (3): 527–606, doi : 10.2307 / 1968644 , JSTOR 1968644
- Smith, HJ Stephen (1867), "On the Orders and Genera of Quadratic Forms Containing More than Three Indeterminates" , Actas de la Royal Society of London , 16 : 197-208, doi : 10.1098 / rspl.1867.0036 , JSTOR 112491