En geometría , la espiral de Theodorus (también llamada espiral de raíz cuadrada , espiral de Einstein o espiral pitagórica ) [1] es una espiral compuesta de triángulos rectángulos , colocados de borde a borde. Lleva el nombre de Teodoro de Cirene .
Construcción
La espiral comienza con un triángulo rectángulo isósceles , y cada cateto tiene una unidad de longitud . Se forma otro triángulo rectángulo, un triángulo rectángulo automático con un cateto que es la hipotenusa del triángulo anterior (con longitud √ 2 ) y el otro cateto tiene una longitud de 1; la longitud de la hipotenusa de este segundo triángulo es √ 3 . Luego, el proceso se repite; el n- ésimo triángulo de la secuencia es un triángulo rectángulo con longitudes de lado √ n y 1, y con hipotenusa √ n + 1 . Por ejemplo, el triángulo número 16 tiene lados que miden 4 (= √ 16 ), 1 e hipotenusa de √ 17 .
Historia y usos
Aunque todo el trabajo de Theodorus se ha perdido, Platón puso a Theodorus en su diálogo Theaetetus , que habla de su trabajo. Se supone que Theodorus había demostrado que todas las raíces cuadradas de números enteros no cuadrados del 3 al 17 son irracionales por medio de la Espiral de Theodorus. [2]
Platón no atribuye la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 a Teodoro, porque era bien conocida antes que él. Theodorus y Theaetetus dividen los números racionales y los números irracionales en diferentes categorías. [3]
Hipotenusa
Cada una de las hipotenusas de los triángulos h n da la raíz cuadrada del número natural correspondiente , con h 1 = √ 2 .
Platón, instruido por Theodorus, cuestionó por qué Theodorus se detuvo en √ 17 . Se cree comúnmente que la razón es que la hipotenusa √ 17 pertenece al último triángulo que no se superpone a la figura. [4]
Superposición
En 1958, Erich Teuffel demostró que nunca coincidirán dos hipotenusas, independientemente de lo lejos que continúe la espiral. Además, si los lados de la longitud unitaria se extienden en una línea , nunca pasarán por ninguno de los otros vértices de la figura total. [4] [5]
Extensión
Theodorus detuvo su espiral en el triángulo con una hipotenusa de √ 17 . Si la espiral se continúa en un número infinito de triángulos, se encuentran muchas más características interesantes.
Tasa de crecimiento
Ángulo
Si φ n es el ángulo del n- ésimo triángulo (o segmento en espiral), entonces:
Por lo tanto, el crecimiento del ángulo φ n del siguiente triángulo n es: [1]
La suma de los ángulos de los primeros k triángulos se llama ángulo total φ ( k ) para el k- ésimo triángulo. Crece proporcionalmente a la raíz cuadrada de k , con un término de corrección acotado c 2 : [1]
dónde
Radio
El crecimiento del radio de la espiral en cierto triángulo n es
Espiral de Arquímedes
La espiral de Teodoro se aproxima a la espiral de Arquímedes . [1] Así como la distancia entre dos devanados de la espiral de Arquímedes es igual a la constante matemática pi , cuando el número de vueltas de la espiral de Theodorus se acerca al infinito , la distancia entre dos devanados consecutivos se acerca rápidamente a π. [6]
La siguiente es una tabla que muestra dos devanados de la espiral acercándose a pi:
Número de bobinado: | Distancia de bobinado media calculada | Precisión de la distancia media de bobinado en comparación con π |
---|---|---|
2 | 3.1592037 | 99,44255% |
3 | 3.1443455 | 99,91245% |
4 | 3.14428 | 99,91453% |
5 | 3.142395 | 99,97447% |
→ ∞ | → π | → 100% |
Como se muestra, después de solo el quinto devanado, la distancia es una aproximación precisa del 99,97% a π. [1]
Curva continua
La cuestión de cómo interpolar los puntos discretos de la espiral de Theodorus por una curva suave fue propuesta y respondida en ( Davis 2001 , pp. 37-38) por analogía con la fórmula de Euler para la función gamma como un interpolador para la función factorial . Davis encontró la función
que fue estudiado más a fondo por su alumno Leader [7] y por Iserles (en un apéndice de ( Davis 2001 )). Una caracterización axiomática de esta función se da en ( Gronau 2004 ) como la función única que satisface la ecuación funcional
la condición inicial y monotonicidad tanto en el argumento como en el módulo ; En él también se estudian condiciones alternativas y debilitamientos. Se da una derivación alternativa en ( Heuvers, Moak & Boursaw 2000 ).
En ( Waldvogel 2009 ) se da una continuación analítica de la forma continua de Davis de la Espiral de Theodorus que se extiende en la dirección opuesta al origen .
En la figura, los nodos de la espiral original (discreta) de Theodorus se muestran como pequeños círculos verdes. Los azules son los que se suman en dirección opuesta a la espiral. Solo nodos con el valor entero del radio polar están numerados en la figura. El círculo punteado en el origen de coordenadas es el círculo de curvatura en .
Ver también
- Espiral de Fermat
- Lista de espirales
Referencias
- ^ a b c d e Hahn, Harry K. "La distribución ordenada de números naturales en la espiral de la raíz cuadrada". arXiv : 0712.2184 .
- ^ Nahin, Paul J. (1998), Un cuento imaginario: La historia de [la raíz cuadrada del menos uno] , Princeton University Press, p. 33, ISBN 0-691-02795-1
- ^ Platón; Dyde, Samuel Walters (1899), Theaetetus of Platón , J. Maclehose, págs. 86-87.
- ^ a b Largo, Kate. "Una lección sobre la espiral de la raíz" . Archivado desde el original el 11 de abril de 2013 . Consultado el 30 de abril de 2008 .
- ^ Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Semestre. 6 (1958), págs. 148-152.
- ^ Hahn, Harry K. (2008). "La distribución de números naturales divisibles por 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17 en la raíz cuadrada en espiral". arXiv : 0801.4422 .
- ^ Líder, JJ La iteración generalizada de Theodorus (disertación), 1990, Universidad de Brown
Otras lecturas
- Davis, PJ (2001), Espirales de Theodorus al caos , AK Peters / CRC Press
- Gronau, Detlef (marzo de 2004), "The Spiral of Theodorus", The American Mathematical Monthly , Asociación Matemática de América, 111 (3): 230-237, doi : 10.2307 / 4145130 , JSTOR 4145130
- Heuvers, J .; Moak, DS; Boursaw, B (2000), "La ecuación funcional de la espiral de raíz cuadrada", en TM Rassias (ed.), Functional Equations and Inequalities , págs. 111-117
- Waldvogel, Jörg (2009), Continuación analítica de la espiral de Theodorus (PDF)