En matemáticas , específicamente en la teoría de la medida , la medida trivial en cualquier espacio medible ( X , Σ) es la medida μ que asigna una medida cero a cada conjunto medible: μ ( A ) = 0 para todo A en Σ.
Propiedades de la medida trivial
Sea μ la medida trivial en algún espacio medible ( X , Σ).
- Una medida ν es la medida trivial μ si y solo si ν ( X ) = 0.
- μ es una medida invariante (y por tanto una medida cuasi-invariante ) para cualquier función medible f : X → X .
Supongamos que X es un espacio topológico y que Σ es el Borel σ -álgebra sobre X .
- μ satisface trivialmente la condición de ser una medida regular .
- μ nunca es una medida estrictamente positiva , independientemente de ( X , Σ), ya que cada conjunto medible tiene medida cero.
- Dado que μ ( X ) = 0, μ es siempre una medida finita y, por tanto, una medida localmente finita .
- Si X es un espacio topológico de Hausdorff con su álgebra σ de Borel , entonces μ satisface trivialmente la condición de ser una medida estricta . Por tanto, μ también es una medida de radón . De hecho, es el vértice del cono en punta de todas las medidas de Radon no negativos en X .
- Si X es un infinito - dimensional espacio de Banach con su Borel σ -álgebra, entonces μ es la única medida en ( X , Σ) que es localmente finita e invariante bajo todas las traducciones de X . Consulte el artículo No existe una medida de Lebesgue de dimensión infinita .
- Si X es un espacio euclidiano n- dimensional R n con su σ -álgebra habitual y su medida n- dimensional de Lebesgue λ n , μ es una medida singular con respecto a λ n : simplemente descomponga R n como A = R n \ {0} y B = {0} y observe que μ ( A ) = λ n ( B ) = 0.