La suma de una secuencia explícita se denota como una sucesión de adiciones. Por ejemplo, la suma de [1, 2, 4, 2] se denota 1 + 2 + 4 + 2 y da como resultado 9, es decir, 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Dado que la suma es asociativa y conmutativa , no se necesitan paréntesis y el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. La suma de una secuencia de un solo elemento da como resultado este elemento en sí. La suma de una secuencia vacía (una secuencia sin elementos), por convención, da como resultado 0.
Muy a menudo, los elementos de una secuencia se definen, mediante un patrón regular, en función de su lugar en la secuencia. Para patrones simples, la suma de secuencias largas se puede representar con la mayoría de los sumandos reemplazados por elipses. Por ejemplo, la suma de los primeros 100 números naturales se puede escribir como 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100 . De lo contrario, la suma se denota mediante la notación Σ , dondees una letra griega mayúscula agrandada sigma . Por ejemplo, la suma de los primeros n enteros naturales se puede denotar como
Para sumas largas y sumas de longitud variable (definidas con elipses o notación Σ), es un problema común encontrar expresiones de forma cerrada para el resultado. Por ejemplo, [a]
Aunque tales fórmulas no siempre existen, se han descubierto muchas fórmulas de suma, y algunas de las más comunes y elementales se enumeran en el resto de este artículo.
Notación
Notación de capital-sigma
El símbolo de suma
La notación matemática utiliza un símbolo que representa de manera compacta la suma de muchos términos similares: el símbolo de suma ,, una forma ampliada de la letra griega mayúscula vertical sigma . Esto se define como
donde i es el índice de suma ; a i es una variable indexada que representa cada término de la suma; m es el límite inferior de la suma y n es el límite superior de la suma . El " i = m " debajo del símbolo de suma significa que el índice i comienza igual am . El índice, i , se incrementa en uno para cada término sucesivo, deteniéndose cuando i = n . [B]
Esto se lee como "suma de una i , desde i = m hasta n ".
A continuación, se muestra un ejemplo que muestra la suma de cuadrados:
En general, aunque cualquier variable se puede utilizar como índice de suma (siempre que no se incurra en ambigüedad), algunas de las más comunes incluyen letras como , y . [1]
Alternativamente, el índice y los límites de la suma a veces se omiten de la definición de suma si el contexto es suficientemente claro. Esto se aplica particularmente cuando el índice va de 1 a n. [2] Por ejemplo, se podría escribir que:
A menudo se ven generalizaciones de esta notación en las que se proporciona una condición lógica arbitraria y se pretende que la suma se tome sobre todos los valores que satisfacen la condición. Por ejemplo:
es la suma de sobre todo (enteros) en el rango especificado,
es la suma de sobre todos los elementos en el set , y
es la suma de sobre todos los enteros positivos divisor . [C]
También hay formas de generalizar el uso de muchos signos sigma. Por ejemplo,
es lo mismo que
Se aplica una notación similar cuando se trata de denotar el producto de una secuencia , que es similar a su suma, pero que usa la operación de multiplicación en lugar de la suma (y da 1 para una secuencia vacía en lugar de 0). Se utiliza la misma estructura básica, con, una forma ampliada de la letra mayúscula griega pi , que reemplaza la.
Casos especiales
Es posible sumar menos de 2 números:
Si la suma tiene un sumando , entonces la suma evaluada es .
Si la suma no tiene sumandos, entonces la suma evaluada es cero , porque cero es la identidad para la suma. Esto se conoce como suma vacía .
Estos casos degenerados generalmente solo se usan cuando la notación de suma da un resultado degenerado en un caso especial. Por ejemplo, sien la definición anterior, entonces solo hay un término en la suma; Si, entonces no hay ninguno.
Definicion formal
La suma se puede definir de forma recursiva de la siguiente manera:
La fórmula anterior se usa más comúnmente para invertir el operador de diferencia, definido por:
donde f es una función definida en los enteros no negativos. Por lo tanto, dada tal función f , el problema es calcular la antidiferencia de f , una función tal que . Es decir,Esta función se define hasta la suma de una constante y puede elegirse como [3]
Muchas de estas aproximaciones se pueden obtener mediante la siguiente conexión entre sumas e integrales , que se cumple para cualquier función creciente f :
y para cualquier función decreciente f :
Para aproximaciones más generales, consulte la fórmula de Euler-Maclaurin .
Para las sumas en las que el sumando viene dado (o puede ser interpolado) por una función integrable del índice, la suma puede interpretarse como una suma de Riemann que ocurre en la definición de la integral definida correspondiente. Por tanto, se puede esperar que, por ejemplo,
ya que el lado derecho es por definición el límite para del lado izquierdo. Sin embargo, para una suma dada, n es fijo, y poco se puede decir sobre el error en la aproximación anterior sin suposiciones adicionales sobre f : está claro que para funciones que oscilan salvajemente, la suma de Riemann puede estar arbitrariamente lejos de la integral de Riemann.
Identidades
Las fórmulas siguientes implican sumas finitas; para sumas infinitas o sumas finitas de expresiones que involucran funciones trigonométricas u otras funciones trascendentales , vea la lista de series matemáticas .
Identidades generales
( distributividad ) [4]
( conmutatividad y asociatividad ) [4]
(cambio de índice)
para una biyección σ de un conjunto finito A sobre un conjunto B (cambio de índice); esto generaliza la fórmula anterior.
(dividiendo una suma, usando asociatividad )
(una variante de la fórmula anterior)
(la suma desde el primer trimestre hasta el último es igual a la suma desde el último hasta el primero)
(un caso particular de la fórmula anterior)
(conmutatividad y asociatividad, de nuevo)
(otra aplicación de conmutatividad y asociatividad)
(dividiendo una suma en sus partes pares e impares, para índices pares)
(dividir una suma en sus partes pares e impares, para índices impares)
( distributividad )
(la distributividad permite la factorización)
(el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores)
(el exponencial de una suma es el producto del exponencial de los sumandos)
Potencias y logaritmos de progresiones aritméticas
por cada c que no depende de i
(Suma de la progresión aritmética más simple , que consta de los n primeros números naturales ). [3] : 52
(Suma de los primeros números naturales impares)
(Suma de los primeros números naturales pares)
(Una suma de logaritmos es el logaritmo del producto)
(Suma de los primeros cuadrados , consulte el número piramidal del cuadrado ). [3] : 52
( Teorema de Nicomachus ) [3] : 52
De manera más general, uno tiene la fórmula de Faulhaber para
dónde denota un número de Bernoulli , yes un coeficiente binomial .
Índice de suma en exponentes
En las siguientes sumas, una se supone que es diferente de 1.
(suma de una progresión geométrica )
(caso especial para a = 1/2 )
( a multiplicado por la derivada con respecto a a de la progresión geométrica)
(suma de una secuencia aritmético-geométrica )
Coeficientes binomiales y factoriales
Existen muchas identidades de suma que involucran coeficientes binomiales (un capítulo completo de Matemáticas concretas está dedicado solo a las técnicas básicas). Algunos de los más básicos son los siguientes.
Implicando el teorema del binomio
el teorema del binomio
el caso especial donde a = b = 1
, el caso especial donde p = a = 1 - b , que, para expresa la suma de la distribución binomial
el valor en a = b = 1 de la derivada con respecto a a del teorema del binomio
el valor en a = b = 1 de la antiderivada con respecto a a del teorema del binomio
Involucrando números de permutación
En las siguientes sumas, es el número de k -permutaciones de n .
, dónde y denota la función de piso .
Otros
Números armónicos
(ese es el n- ésimo número armónico )
(que es un número armónico generalizado )
Las tasas de crecimiento
Las siguientes son aproximaciones útiles (usando notación theta ):
para c real mayor que -1
(Ver número armónico )
para c real mayor que 1
para c real no negativo
para c real no negativo , d
para real no negativo b > 1, c , d
Ver también
Notación de Einstein
Soporte Iverson
Operación binaria iterada
Algoritmo de suma de Kahan
Productos de secuencias
Producto (matemáticas)
Suma por partes
∑ el glifo simple de suma (U + 2211 N-ARY SUMMATION )
⎲ el comienzo del glifo emparejado (U + 23B2 SUMMATION TOP )
⎳ el final del glifo emparejado (U + 23B3 SUMMATION BOTTOM )
Notas
^ Para obtener más información, consulte Número triangular .
^ Para una exposición detallada sobre notación sumatoria y aritmética con sumas, vea Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E .; Patashnik, Oren (1994). "Capítulo 2: Sumas". Matemáticas concretas: una base para la informática (PDF) (2ª ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0201558029.[ enlace muerto permanente ]
^ Aunque el nombre de la variable ficticia no importa (por definición), generalmente se usan letras del medio del alfabeto ( mediante ) para denotar números enteros, si existe riesgo de confusión. Por ejemplo, incluso si no debería haber ninguna duda sobre la interpretación, podría parecer un poco confuso para muchos matemáticos ver en vez de en las fórmulas anteriores que involucran . Consulte también las convenciones tipográficas en fórmulas matemáticas .
Fuentes
^"Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
^"Notación de suma" . www.columbia.edu . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
^ a b c d Manual de matemáticas discretas y combinatorias , Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1 .
^ a b"Cálculo I - Notación de suma" . tutorial.math.lamar.edu . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
enlaces externos
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