En matemáticas y física , el super espacio de Minkowski o el superespacio de Minkowski es una extensión supersimétrica del espacio de Minkowski , a veces utilizado como la variedad base para los supercampos . Es actuado por el super álgebra de Poincaré .
Boceto informal
De manera informal, el súper espacio de Minkowski puede considerarse como el súper álgebra de Poincaré módulo el álgebra del grupo de Lorentz , de la misma manera que el espacio-tiempo ordinario de Minkowski puede verse como las clases laterales del álgebra de Poincaré ordinaria módulo la acción del álgebra de Lorentz. El espacio lateral es naturalmente afín (sin origen) y un comportamiento anti-conmutación nilpotente de las direcciones fermiónicas surge naturalmente del álgebra de Clifford asociada con el grupo de Lorentz.
Definición
La supervariedad subyacente del super espacio de Minkowski es isomorfa a un super espacio vectorial dada por la suma directa del espacio-tiempo ordinario de Minkowski en d dimensiones (a menudo tomadas como 4) y un número N de representaciones de espinor reales del álgebra de Lorentz. (Cuando d es 2 mod 4, esto es un poco ambiguo porque hay 2 representaciones de espín reales diferentes, por lo que es necesario reemplazar N por un par de números enteros N = N 1 + N 2 , aunque algunos autores usan una convención diferente y toman N copias de ambas representaciones de espín.)
Sin embargo, esta construcción es engañosa por dos razones: primero, el super espacio de Minkowski es realmente un espacio afín sobre un grupo en lugar de un grupo, o en otras palabras, no tiene un "origen" distinguido, y segundo, el supergrupo subyacente de traducciones no es un super-espacio vectorial pero un supergrupo nilpotente de longitud nilpotente 2. Este supergrupo tiene el siguiente álgebra de Lie . Suponga que M es el espacio de Minkowski y S es una suma finita de representaciones de espinor reales irreductibles . Entonces hay un mapa bilineal simétrico invariante [,] de S × S a M que es positivo definido en el sentido de que la imagen de s × s está en el cono positivo cerrado de M , y es diferente de cero si s es diferente de cero. Este mapa bilineal es único hasta el isomorfismo. La superalgebra de Lie tiene M como su parte par, S como su parte impar o fermiónica, y el corchete de Lie viene dado por [,] (y el corchete de Lie de cualquier cosa en M con cualquier cosa es cero).
Las dimensiones de las representaciones de espinores reales irreductibles para varias dimensiones d del espacio-tiempo vienen dadas por la siguiente tabla:
Dimensión espacio-tiempo, d | Dimensión real de las representaciones de espinor | Estructura | Forma bilineal |
---|---|---|---|
1 | 1 | Verdadero | Simétrico |
2 | 1, 1 | Verdadero | Dos representaciones duales |
3 | 2 | Verdadero | Alterno |
4 | 4 | Complejo (dimensión 2) | Alterno |
5 | 8 | Cuaterniónico (dimensión 2) | Simétrico |
6 | 8, 8 | Cuaterniónico (dimensión 2, 2) | Dos representaciones duales |
7 | dieciséis | Cuaterniónico (dimensión 4) | Alterno |
8 | dieciséis | Complejo (dimensión 8) | Simétrico |
9 | dieciséis | Verdadero | Simétrico |
10 | 16, 16 | Verdadero | Dos representaciones duales |
11 | 32 | Verdadero | Alterno |
12 | 64 | Complejo (dimensión 32) | Alterno |
La tabla se repite cada vez que la dimensión aumenta en 8, excepto que las dimensiones de las representaciones de giro se multiplican por 16.
Notación
En la literatura de física, el espacio-tiempo de Minkowski se especifica a menudo dando la dimensión d de la parte bosónica par y el número de veces N que ocurre cada representación de espino irreducible en la parte fermiónica impar. En matemáticas, el espacio-tiempo de Minkowski a veces se especifica en la forma M m | n donde m es la dimensión de la parte par yn la dimensión de la parte impar. La relación es la siguiente: el número entero d en la notación física es el número entero m en la notación matemática, mientras que el número entero n en la notación matemática es una potencia de 2 veces el número entero N en la notación física, donde la potencia de 2 es la dimensión de la representación de espinor real irreductible (o el doble si hay dos representaciones de espinor real irreductibles). Por ejemplo, el espacio-tiempo d = 4 , N = 1 de Minkowski es M 4 | 4 mientras que el espacio-tiempo de N = 2 Minkowski es M 4 | 8 . Cuando la dimensión d o m es 2 mod 4 hay dos representaciones reales espinoriales irreducibles diferentes, y los autores utilizan diversas convenciones diferentes.
En física, la letra P se usa como base de la parte bosónica par de la superalgebra de Lie, y la letra Q se usa a menudo como base de la complejación de la parte fermiónica impar, por lo que, en particular, las constantes de estructura de la superalgebra de Lie pueden ser complejo en lugar de real. A menudo, los elementos básicos Q vienen en pares conjugados complejos, por lo que el subespacio real se puede recuperar como puntos fijos de conjugación compleja.
Referencias
- Deligne, Pierre ; Morgan, John W. (1999), "Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)", en Deligne, Pierre ; Etingof, Pavel; Freed, Daniel S .; Jeffrey, Lisa C .; Kazhdan, David; Morgan, John W .; Morrison, David R .; Witten., Edward (eds.), Campos cuánticos y cadenas: un curso para matemáticos, vol. 1 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 41–97, ISBN 978-0-8218-1198-6, MR 1701597