En física teórica , un álgebra superpoincaré es una extensión del álgebra de Poincaré para incorporar la supersimetría , una relación entre bosones y fermiones . Son ejemplos de álgebras de supersimetría (sin cargas centrales ni simetrías internas), y son superalgebras de Lie . Así, un álgebra superpoincaré es un espacio vectorial de grado Z 2 con un corchete de Lie graduado de manera que la parte par es un álgebra de Lie que contiene el álgebra de Poincaré, y la parte impar se construye a partir de espinores en los que hay unrelación de anticonmutación con valores en la parte par.
Boceto informal
El álgebra de Poincaré describe las isometrías del espacio-tiempo de Minkowski . De la teoría de la representación del grupo de Lorentz , se sabe que el grupo de Lorentz admite dos representaciones de espinor complejas desiguales, denominadas y . [nb 1] Tomando su producto tensorial , se obtiene; esta descomposición de los productos tensoriales de las representaciones en sumas directas viene dada por la regla de Littlewood-Richardson .
Normalmente, se considera que dicha descomposición se relaciona con partículas específicas: así, por ejemplo, el pión , que es una partícula de vector quiral , está compuesto por un par de quark -anti-quark. Sin embargo, también se podría identificarcon el propio espacio-tiempo de Minkowski. Esto lleva a una pregunta natural: si el espacio-tiempo de Minkowski pertenece a la representación adjunta , ¿se puede extender la simetría de Poincaré a la representación fundamental ? Bueno, puede: esto es exactamente el álgebra superpoincaré. Hay una pregunta experimental correspondiente: si vivimos en la representación adjunta, ¿dónde se esconde la representación fundamental? Este es el programa de supersimetría , que no se ha encontrado experimentalmente.
Historia
El álgebra de super-Poincaré se propuso por primera vez en el contexto del teorema de Haag-Łopuszański-Sohnius , como un medio para evitar las conclusiones del teorema de Coleman-Mandula . Es decir, el teorema de Coleman-Mandula es un teorema de prohibición que establece que el álgebra de Poincaré no se puede ampliar con simetrías adicionales que podrían describir las simetrías internas del espectro de partículas físicas observado. Sin embargo, el teorema de Coleman-Mandula asumió que la extensión del álgebra sería por medio de un conmutador; esta suposición, y por tanto el teorema, puede evitarse considerando el anticonmutador, es decir, empleando números de Grassmann anticonmutación . La propuesta era considerar un álgebra de supersimetría , definida como el producto semidirecto de una extensión central del álgebra superpoincaré por un álgebra de Lie compacta de simetrías internas.
Definición
La extensión supersimétrica más simple del álgebra de Poincaré contiene dos espinores de Weyl con la siguiente relación anti-conmutación:
y todas las demás relaciones anti-conmutación entre Qs y Ps desaparecen. [1] En la expresión anterior son los generadores de traducción y son las matrices de Pauli . El índice corre sobre los valores Se utiliza un punto sobre el índice. recordar que este índice se transforma de acuerdo con la representación de espinor conjugado desigual; nunca se deben contraer accidentalmente estos dos tipos de índices. Las matrices de Pauli pueden considerarse una manifestación directa de la regla de Littlewood-Richardson mencionada anteriormente: indican cómo el producto tensorialde los dos espinores se puede volver a expresar como un vector. El índice por supuesto, se extiende sobre las dimensiones del espacio-tiempo
Es conveniente trabajar con espinores de Dirac en lugar de espinores de Weyl; un espinor de Dirac se puede considerar como un elemento de; tiene cuatro componentes. Por tanto, las matrices de Dirac también son de cuatro dimensiones y pueden expresarse como sumas directas de las matrices de Pauli. El producto tensorial entonces da una relación algebraica a la métrica de Minkowski que se expresa como:
y
Esto entonces da el álgebra completa [2]
que deben combinarse con el álgebra de Poincaré normal . Es un álgebra cerrada, ya que todas las identidades de Jacobi se satisfacen y pueden tener desde entonces representaciones de matriz explícitas. Seguir esta línea de razonamiento conducirá a la supergravedad .
SUSY en el espacio-tiempo 3 + 1 de Minkowski
En (3 + 1) el espaciotiempo de Minkowski, el teorema de Haag-Łopuszański-Sohnius establece que el álgebra SUSY con N generadores de espinores es el siguiente.
La parte par de la estrella superalgebra de Lie es la suma directa del álgebra de Poincaré y un álgebra de Lie reductiva B (de manera que su parte autoadjunta es el espacio tangente de un grupo de Lie compacto real). La parte extraña del álgebra sería
dónde y son representaciones específicas del álgebra de Poincaré. (En comparación con la notación utilizada anteriormente en el artículo, estos corresponden y , respectivamente, vea también la nota a pie de página donde se introdujo la notación anterior). Ambos componentes se conjugan entre sí bajo la conjugación *. V es una representación compleja N -dimensional de B y V * es su representación dual . El corchete de Lie para la parte impar viene dado por un emparejamiento equivariante simétrico {.,.} En la parte impar con valores en la parte par. En particular, su entrelazado reducido deal ideal del álgebra de Poincaré generado por las traducciones se da como el producto de un entrelazado distinto de cero de a (1 / 2,1 / 2) por el "entrelazado de contracción" de a la representación trivial . Por otro lado, su entrelazado reducido de es el producto de un entrelazado (antisimétrico) de a (0,0) y un entrelazador antisimétrico A dea B . Conjuga para obtener el caso correspondiente a la otra mitad.
N = 1
B es ahora(llamada simetría R) y V es la representación 1D decon carga 1. A (el entrelazador definido anteriormente) tendría que ser cero ya que es antisimétrico.
En realidad, hay dos versiones de N = 1 SUSY, una sin el(es decir, B es de dimensión cero) y el otro con.
N = 2
B es ahoray V es la representación de doblete 2D de con un cero cobrar . Ahora, A es un entrelazador distinto de cero alparte de B .
Alternativamente, V podría ser un doblete 2D con un valor distinto de cerocargo. En este caso, A tendría que ser cero.
Otra posibilidad más sería dejar que B sea. V es invariante bajo y y se descompone en una repetición 1D con carga 1 y otra repetición 1D con carga -1. El entrelazador A sería complejo con el mapeo de la pieza real a y el mapeo de la parte imaginaria a .
O podríamos tener B siendosiendo V la repetición del doblete de con cero cargas y A es un entrelazado complejo con el mapeo de la pieza real para y la parte imaginaria a .
Esto ni siquiera agota todas las posibilidades. Vemos que hay más de una supersimetría N = 2; del mismo modo, los SUSY para N > 2 tampoco son únicos (de hecho, solo empeora).
N = 3
Teóricamente está permitido, pero la estructura del multiplete se vuelve automáticamente la misma que la de una teoría supersimétrica N = 4. Por lo tanto, se discute con menos frecuencia en comparación con la versión N = 1,2,4. {Se necesita una cita}
N = 4
Este es el número máximo de sobrealimentaciones en una teoría sin gravedad.
SUSY en varias dimensiones
En 0 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 6 + 1, 7 + 1, 8 + 1, 10 + 1 dimensiones, etc., un álgebra de SUSY se clasifica por un entero positivo N .
En las dimensiones 1 + 1, 5 + 1, 9 + 1, etc., un álgebra SUSY se clasifica mediante dos números enteros no negativos ( M , N ), al menos uno de los cuales es distinto de cero. M representa el número de SUSY zurdos y N representa el número de SUSY diestros.
La razón de esto tiene que ver con las condiciones de realidad de los espinores .
De ahora en adelante, d = 9 significa d = 8 + 1 en la firma de Minkowski, etc. La estructura del álgebra supersimétrica está determinada principalmente por el número de generadores fermiónicos, es decir, el número N multiplicado por la dimensión real del espino en d dimensiones. Esto se debe a que se puede obtener fácilmente un álgebra de supersimetría de dimensión inferior a partir de una de dimensión superior mediante el uso de la reducción dimensional.
d = 11
El único ejemplo es la supersimetría N = 1 con 32 supercargas.
d = 10
De d = 11, N = 1 SUSY, se obtiene N = (1, 1) álgebra SUSY no quiral, que también se denomina supersimetría de tipo IIA. También existe el álgebra SUSY N = (2, 0), que se denomina supersimetría de tipo IIB. Ambos tienen 32 supercargas.
N = (1, 0) El álgebra de SUSY con 16 supercargas es el álgebra de Susy mínima en 10 dimensiones. También se le llama supersimetría de tipo I. La teoría de supercuerdas tipo IIA / IIB / I tiene el álgebra SUSY del nombre correspondiente. El álgebra de supersimetría para las supercuerdas heteróticas es la del tipo I.
Observaciones
- ^ Las representaciones con barras son lineales conjugadas, mientras que las sin barras son lineales complejas. El número se refiere a la dimensión del espacio de representación . Otra notación más común es escribir ( 1 ⁄ 2 , 0) y (0, 1 ⁄ 2 )respectivamente para estas representaciones. La representación irreductible general es entonces( m , n ), donde m, n son semi-integrales y corresponden físicamente al contenido de espín de la representación, que va desde| m + n | a | m - n | en pasos enteros, cada giro ocurre exactamente una vez.
Notas
- ^ Aitchison 2005
- ↑ van Nieuwenhuizen , 1981 , p. 274
Referencias
- Aitchison, Ian JR (2005). "Supersimetría y MSSM: una introducción elemental". arXiv : hep-ph / 0505105 .
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- van Nieuwenhuizen, P. (1981). "Supergravedad". Phys. Rep. 68 (4): 189–398. Código Bibliográfico : 1981PhR .... 68..189V . doi : 10.1016 / 0370-1573 (81) 90157-5 .
- Volkov, DV; Akulov, vicepresidente (1972). "Posible interacción universal de neutrinos" . JETP Lett . 16 (11): 621 págs.
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