Superelipse

Curva cerrada que se asemeja a una elipse

Ejemplos de superelipsis para ${\displaystyle a=1,\ b=0.75}$

Una superelipse , también conocida como curva de Lamé en honor a Gabriel Lamé , es una curva cerrada que se asemeja a la elipse , que conserva las características geométricas del semi-eje mayor y el semi-eje menor , y la simetría alrededor de ellos, pero una forma general diferente.

En el sistema de coordenadas cartesianas , el conjunto de todos los puntos ( x ,  y ) en la curva satisface la ecuación

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}$

donde n , a y b son números positivos y las barras verticales |  | alrededor de un número indica el valor absoluto del número.

Casos específicos

Esta fórmula define una curva cerrada contenida en el rectángulo - un ≤ x  ≤ + un y - b  ≤  y  ≤ + b . Los parámetros a y b son llamados los semirremolques diámetros de la curva.

${\displaystyle 0<n<1}$	La superelipse parece una estrella de cuatro brazos con lados cóncavos (curvados hacia adentro). Para n  = 1/2, en particular, cada uno de los cuatro arcos es un segmento de una parábola . Un astroide es el caso especial a  =  b , n  = 2/3.	La superelipse con n  =  1 ⁄ 2 , a  =  b  = 1
${\displaystyle n=1}$	La curva es un rombo con esquinas (± a , 0) y (0, ± b ).
${\displaystyle 1<n<2}$	La curva parece un rombo con las mismas esquinas pero con lados convexos (curvados hacia afuera). La curvatura aumenta sin límite a medida que uno se acerca a sus puntos extremos.	La superelipse con n  =  3 ⁄ 2 , a  =  b  = 1
${\displaystyle n=2}$	La curva es una elipse ordinaria (en particular, un círculo si a  =  b ).
${\displaystyle n>2}$	La curva parece superficialmente un rectángulo con esquinas redondeadas. La curvatura es cero en los puntos (± a , 0) y (0, ± b ).	Ardilla , la superelipse con n  = 4, a  =  b  = 1

Si n  <2, la figura también se denomina hipoelipse ; si n  > 2, una hiperelipse .

Cuando n  ≥ 1 y a  =  b , la superelipse es el límite de una bola de R ² en la n- norma .

Los puntos extremos de la superelipse son (± a , 0) y (0, ± b ), y sus cuatro "esquinas" son (± sa, ± sb ), donde (a veces llamado "superness" ^[1] ).${\displaystyle s=2^{-1/n}}$

Propiedades matematicas

Cuando n es un número racional positivo p / q (en términos más bajos), entonces cada cuadrante de la superelipse es una curva algebraica plana de orden pq . ^[2] En particular, cuando a = b = 1 y n es un número entero par, entonces es una curva de Fermat de grado n . En ese caso no es singular, pero en general será singular . Si el numerador no es par, entonces la curva se ensambla a partir de partes de la misma curva algebraica en diferentes orientaciones.

La curva viene dada por las ecuaciones paramétricas (con parámetro que no tiene interpretación geométrica elemental)${\displaystyle t}$

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(t\right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}t\\y\left(t\right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}t\end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}}$

donde cada ± puede elegirse por separado para que cada valor de dé cuatro puntos en la curva. De manera equivalente, dejando que el rango se sobrepase${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0\leq t<2\pi ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(t\right)&={|\cos t|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={|\sin t|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t)\end{aligned}}}$

donde la función de signo es

${\displaystyle \operatorname {sgn}(w)={\begin{cases}-1,&w<0\\0,&w=0\\+1,&w>0.\end{cases}}}$

Aquí no está el ángulo entre el eje horizontal positivo y el rayo desde el origen hasta el punto, ya que la tangente de este ángulo es igual a y / x mientras que en las expresiones paramétricas y / x = ( b / a ) (tan ^{2 / n} ≠ broncearse${\displaystyle t}$${\displaystyle t)}$${\displaystyle t.}$

El área dentro de la superelipse se puede expresar en términos de la función gamma , Γ ( x ), como

${\displaystyle \mathrm {Area} =4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.}$

La curva del pedal es relativamente sencilla de calcular. Específicamente, el pedal de

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}$

viene dado en coordenadas polares por ^[3]

${\displaystyle (a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.}$

Generalizaciones

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Variaciones de una superelipse con diferentes exponentes

La superelipse se generaliza además como:

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0.}$

o

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(t\right)&={|\cos t|}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={|\sin t|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t).\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que es un parámetro que no está vinculado al ángulo físico a través de funciones elementales.${\displaystyle t}$

Historia

La notación cartesiana general de la forma proviene del matemático francés Gabriel Lamé (1795-1870), quien generalizó la ecuación para la elipse.

Los contornos exteriores de las letras 'o' y 'O' en el tipo de letra Melior de Zapf se describen mediante superelipsis con n = log (1/2) / log (7/9) ≈ 2.758

La tipografía Melior de Hermann Zapf , publicada en 1952, usa superelipses para letras como o . Treinta años después, Donald Knuth desarrollaría la capacidad de elegir entre elipses y superelipses verdaderos (ambos aproximados por splines cúbicos ) en su familia de tipos Computer Modern .

La superelipse fue nombrada por el poeta y científico danés Piet Hein (1905-1996), aunque no la descubrió como a veces se afirma. En 1959, los urbanistas de Estocolmo , Suecia , anunciaron un desafío de diseño para una rotonda en su plaza Sergels Torg . La propuesta ganadora de Piet Hein se basó en una superelipse con n = 2.5 y a / b = 6/5. ^[4] Como él lo explicó:

El hombre es el animal que traza líneas con las que luego él mismo tropieza. En todo el patrón de la civilización ha habido dos tendencias, una hacia las líneas rectas y patrones rectangulares y otra hacia las líneas circulares. Hay razones, mecánicas y psicológicas, para ambas tendencias. Las cosas hechas con líneas rectas encajan bien y ahorran espacio. Y podemos movernos fácilmente, física o mentalmente, alrededor de cosas hechas con líneas redondas. Pero estamos en una camisa de fuerza, teniendo que aceptar uno u otro, cuando a menudo alguna forma intermedia sería mejor. Dibujar algo a mano alzada, como la rotonda de mosaico que probaron en Estocolmo, no servirá. No es fijo, no es definido como un círculo o un cuadrado. No sabes lo que es. No es estéticamente satisfactorio. La superelipse resolvió el problema.No es ni redondo ni rectangular, sino intermedio. Sin embargo, es fijo, es definido, tiene una unidad.

Sergels Torg se completó en 1967. Mientras tanto, Piet Hein pasó a usar la superelipse en otros artefactos, como camas, platos, mesas, etc. ^[5] Al girar una superelipse alrededor del eje más largo, creó el superelipse , un sólido con forma de huevo que podía colocarse en posición vertical sobre una superficie plana y se comercializaba como un juguete novedoso .

En 1968, cuando los negociadores en París para la guerra de Vietnam no pudieron ponerse de acuerdo sobre la forma de la mesa de negociaciones, Balinski, Kieron Underwood y Holt sugirieron una mesa superelíptica en una carta al New York Times . ^[4] La superelipse se utilizó para la forma del Estadio Olímpico Azteca de 1968 , en la Ciudad de México .

Waldo R. Tobler desarrolló una proyección cartográfica , la proyección hiperelíptica de Tobler , publicada en 1973, ^[6] en la que los meridianos son arcos de superelipses.

El logotipo de la empresa de noticias The Local consiste en una superelipse inclinada que coincide con las proporciones de Sergels Torg. Se utilizan tres superelipsis conectados en el logo de los Pittsburgh Steelers .

En informática, el sistema operativo móvil iOS utiliza una curva de superelipse para los iconos de las aplicaciones, reemplazando el estilo de esquinas redondeadas utilizado hasta la versión 6. ^[7]

Ver también

• Astroid , la superelipse con n  =  2 / 3 y un  =  b , es un hipocicloide con cuatro cúspides.
  • Curva deltoidea , hipocicloide de tres cúspides.
• Squircle , la superelipse con n  = 4 y a  =  b , se parece a "La rueda de cuatro picos".
  • Triángulo de Reuleaux , "La rueda de tres picos".
• Superformula , una generalización de la superelipse.
• Superquadrics y superellipsoids , los "parientes" tridimensionales de superellipses.
• Curva superelíptica , ecuación de la forma Y ⁿ = f ( X ).
• L p espacios
• Superelipsoide

Referencias

1. Donald Knuth: El METAFONTbook , p. 126
2. Para obtener una derivación de la ecuación algebraica en el caso donde n = 2/3, consulte la p. 3 de http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf .
3. J. Edwards (1892). Cálculo diferencial . Londres: MacMillan and Co.  págs.164 .
4. Gardner, Martin (1977), "Piet Hein's Superellipse", Carnaval matemático. Un nuevo resumen de tentadores y acertijos de Scientific American , Nueva York: Vintage Press , págs.  240–254 , ISBN 978-0-394-72349-5
5. The Superellipse , en The Guide to Life, The Universe and Everything por BBC (27 de junio de 2003)
6. Tobler, Waldo (1973), "Las proyecciones de mapas de áreas iguales hiperelípticas y otras nuevas pseudocilíndricas", Journal of Geophysical Research , 78 (11): 1753-1759, Bibcode : 1973JGR .... 78.1753T , CiteSeerX 10.1.1.495. 6424 , doi : 10.1029 / JB078i011p01753 . 
7. http://iosdesign.ivomynttinen.com/

• Barr, Alan H. (1983), Modelado geométrico y análisis fluidodinámico de espermatozoides nadadores , Instituto Politécnico Rensselaer (Tesis doctoral con superelipsoides)
• Barr, Alan H. (1992), "Rigid Physically Based Superquadrics", en Kirk, David (ed.), Graphics Gems III , Academic Press , págs. 137-159 ( código : 472-477), ISBN 978-0-12-409672-1
• Gielis, Johan (2003), Inventing the Circle: The Geometry of Nature , Amberes: Geniaal Press, ISBN 978-90-807756-1-9

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Superellipse .

• Sokolov, DD (2001) [1994], "Curva de Lamé" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• "Lamé Curve" en MathCurve.
• Weisstein, Eric W. "Superellipse" . MathWorld .
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Lame Curves" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• "Super Elipse" en 2dcurves.com
• Calculadora de superelipse y generador de plantillas
• Código C para el ajuste de superelipses