En matemáticas , una función
es supermodular si
para todos , , dónde denota el máximo por componentes y el mínimo de componentes de y .
Si - f es supermodular, entonces f se llama submodular , y si la desigualdad se cambia a una igualdad, la función es modular .
Si f es dos veces diferenciable de forma continua, entonces la supermodularidad es equivalente a la condición [1]
Supermodularidad en economía y teoría de juegos
El concepto de supermodularidad se utiliza en las ciencias sociales para analizar cómo la decisión de un agente afecta los incentivos de otros.
Considere un juego simétrico con una función de pago uniforme definido sobre acciones de dos o más jugadores . Supongamos que el espacio de acción es continuo; para simplificar, suponga que cada acción se elige de un intervalo:. En este contexto, la supermodularidad de implica que un aumento en el jugador elección de aumenta la recompensa marginal de acción para todos los demás jugadores . Es decir, si algún jugador elige un mayor , todos los demás jugadores tener un incentivo para aumentar sus opciones también. Siguiendo la terminología de Bulow, Geanakoplos y Klemperer (1985), los economistas llaman a esta situación complementariedad estratégica , porque las estrategias de los jugadores se complementan entre sí. [2] Esta es la propiedad básica que subyace a los ejemplos de equilibrios múltiples en los juegos de coordinación . [3]
El caso opuesto de submodularidad de corresponde a la situación de sustituibilidad estratégica . Un aumento en reduce la recompensa marginal a las opciones de todos los demás jugadores , entonces las estrategias son sustitutos. Es decir, si elige un mayor , otros jugadores tienen un incentivo para elegir un menor .
Por ejemplo, Bulow et al. considere las interacciones de muchas empresas imperfectamente competitivas . Cuando un aumento en la producción de una empresa eleva los ingresos marginales de las otras empresas, las decisiones de producción son complementos estratégicos. Cuando un aumento en la producción de una empresa reduce los ingresos marginales de las otras empresas, las decisiones de producción son sustitutos estratégicos.
Una función de utilidad supermodular suele estar relacionada con bienes complementarios . Sin embargo, esta opinión es controvertida. [4]
Funciones submodulares de subconjuntos
La supermodularidad y la submodularidad también se definen para funciones definidas sobre subconjuntos de un conjunto mayor. Intuitivamente, una función submodular sobre los subconjuntos demuestra "rendimientos decrecientes". Existen técnicas especializadas para optimizar funciones submodulares.
Sea S un conjunto finito. Una función es submodular si para cualquier y , . Para la supermodularidad, la desigualdad se invierte.
La definición de submodularidad se puede formular de manera equivalente como
para todos los subconjuntos A y B de S .
Los algoritmos de teoría y enumeración para encontrar máximos (mínimos) locales y globales de funciones submodulares (supermodulares) se pueden encontrar en B. Goldengorin. Revista europea de investigación operativa 198 (1): 102-112, DOI: 10.1016 / j.ejor.2008.08.022
Ver también
notas y referencias
- ↑ La equivalencia entre la definición de supermodularidad y su formulación de cálculo a veces se denomina teorema de caracterización de Topkis . Véase Milgrom, Paul; Roberts, John (1990). "Racionalización, aprendizaje y equilibrio en juegos con complementariedades estratégicas". Econometrica . 58 (6): 1255-1277 [pág. 1261]. doi : 10.2307 / 2938316 . JSTOR 2938316 .
- ^ Bulow, Jeremy I .; Geanakoplos, John D .; Klemperer, Paul D. (1985). "Oligopolio multimercado: sustitutos y complementos estratégicos". Revista de Economía Política . 93 (3): 488–511. CiteSeerX 10.1.1.541.2368 . doi : 10.1086 / 261312 . S2CID 154872708 .
- ^ Cooper, Russell; John, Andrew (1988). "Coordinación de fallas de coordinación en modelos keynesianos" (PDF) . Revista Trimestral de Economía . 103 (3): 441–463. doi : 10.2307 / 1885539 . JSTOR 1885539 .
- ^ Chambers, Christopher P .; Echenique, Federico (2009). "Supermodularidad y preferencias". Revista de teoría económica . 144 (3): 1004. CiteSeerX 10.1.1.122.6861 . doi : 10.1016 / j.jet.2008.06.004 .