En matemáticas , la matriz H de Hasse-Witt de una curva algebraica no singular C sobre un campo finito F es la matriz del mapeo de Frobenius ( p -ésimo mapeo de potencias donde F tiene q elementos, q una potencia del número primo p ) con respecto a una base para los diferenciales del primer tipo . Es una matriz g × g donde C tiene género g . El rango de la matriz de Hasse-Witt es el invariante de Hasse o Hasse-Witt .
Esta definición, como se da en la introducción, es natural en términos clásicos y se debe a Helmut Hasse y Ernst Witt (1936). Proporciona una solución a la cuestión de la p -rank de la variedad jacobiana J de C ; la p -rank está limitada por el rango de H , específicamente es el rango del mapeo de Frobenius compuesto consigo mismo g veces. También es una definición que en principio es algorítmica. Ha habido un interés sustancial reciente en esto desde la aplicación práctica a la criptografía , en el caso de C una curva hiperelíptica. La curva C es superespecial si H = 0.
Esa definición necesita un par de salvedades, al menos. En primer lugar, existe una convención sobre los mapeos de Frobenius, y según la comprensión moderna, lo que se requiere para H es la transposición de Frobenius (ver Frobenius aritmético y geométrico para más discusión). En segundo lugar, el mapeo de Frobenius no es F -lineal; es lineal sobre el campo principal Z / p Z en F. Por lo tanto, la matriz se puede escribir, pero no representa un mapeo lineal en el sentido sencillo.
o en otras palabras la primera cohomología de C con coeficientes en su estructura gavilla . Esto ahora se llama operador Cartier-Manin (a veces simplemente operador Cartier ), para Pierre Cartier y Yuri Manin . La conexión con la definición de Hasse-Witt es por medio de la dualidad de Serre , que para una curva relaciona ese grupo con
El p -ranco de una variedad abeliana A sobre un campo K de característica p es el entero k para el cual el núcleo A [ p ] de la multiplicación por p tiene p k puntos. Puede tomar cualquier valor de 0 ad , la dimensión de A ; por el contrario, para cualquier otro número primo l hay l 2 d puntos en A [ l ]. La razón por la que la p -rank es menor es que la multiplicación por pen A es una isogenia inseparable : el diferencial es p que es 0 en K. Al observar el núcleo como un esquema de grupo, se puede obtener la estructura más completa (referencia David Mumford Abelian Varieties págs. 146–7); pero si, por ejemplo, uno mira el módulo de reducción p de una ecuación de división , el número de soluciones debe disminuir.
El rango del operador de Cartier-Manin, o matriz de Hasse-Witt, da un límite superior para el p -rank. El p -rank es el rango del operador de Frobenius compuesto consigo mismo g veces. En el artículo original de Hasse y Witt, el problema está redactado en términos intrínsecos a C , sin depender de J. Se trata de clasificar las posibles extensiones Artin-Schreier del campo funcional F ( C ) (el análogo en este caso de la teoría de Kummer ).