Universo (matemáticas)
En las matemáticas , y en particular en la teoría de conjuntos , la teoría de categorías , la teoría de tipos , y los fundamentos de las matemáticas , de un universo es una colección que contiene todas las entidades que se desea tener en cuenta en una situación dada.
En la teoría de conjuntos, los universos son a menudo clases que contienen (como elementos ) todos los conjuntos para los que se espera demostrar un teorema particular . Estas clases pueden servir como modelos internos para varios sistemas axiomáticos como ZFC o la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . Los universos son de importancia crítica para formalizar conceptos en la teoría de categorías dentro de los fundamentos de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, el ejemplo motivador canónico de una categoría es Conjunto , la categoría de todos los conjuntos, que no se puede formalizar en una teoría de conjuntos sin alguna noción de universo.
Quizás la versión más simple es que cualquier conjunto puede ser un universo, siempre que el objeto de estudio se limite a ese conjunto en particular. Si el objeto de estudio está formado por los números reales , entonces la línea real R , que es el conjunto de números reales, podría ser el universo en consideración. Implícitamente, este es el universo que estaba usando Georg Cantor cuando desarrolló por primera vez la cardinalidad y la teoría moderna de conjuntos ingenua en las décadas de 1870 y 1880 en aplicaciones al análisis real . Los únicos conjuntos en los que Cantor estaba interesado originalmente eran subconjuntos de R.
Este concepto de universo se refleja en el uso de diagramas de Venn . En un diagrama de Venn, la acción tiene lugar tradicionalmente dentro de un gran rectángulo que representa el universo U . Generalmente se dice que los conjuntos están representados por círculos; pero estos conjuntos sólo pueden ser subconjuntos de U . El complemento de un conjunto A viene dado por la parte del rectángulo fuera del círculo de A. Estrictamente hablando, este es el complemento relativo U \ A de A relativo a U ; pero en un contexto donde U es el universo, se puede considerar como elcomplemento absoluta A C de A . De manera similar, existe una noción de intersección nula , que es la intersección de conjuntos cero (es decir, sin conjuntos, no conjuntos nulos ).
Sin un universo, la intersección nula sería el conjunto de absolutamente todo, lo que generalmente se considera imposible; pero con el universo en mente, la intersección nularia puede ser entendido como el conjunto de todo lo que se examina, que es simplemente T . Estas convenciones son bastante útiles en el enfoque algebraico de la teoría de conjuntos básica, basada en retículas booleanas . Excepto en algunas formas no estándar de la teoría de conjuntos axiomáticos (como New Foundations ), la clase de todos los conjuntos no es un retículo booleano (es sólo un retículo relativamente complementado ).
Por el contrario, la clase de todos los subconjuntos de U , denominada conjunto de potencias de U , es una red booleana. El complemento absoluto descrito anteriormente es la operación de complemento en el retículo booleano; y U , como intersección nular, sirve como elemento superior (o encuentro nular ) en la red booleana. Entonces se aplican las leyes de De Morgan , que tratan con complementos de encuentros y uniones (que son uniones en la teoría de conjuntos), y se aplican incluso al encuentro nular y al encuentro nular (que es el conjunto vacío ).
