En matemáticas , y específicamente en geometría diferencial , una densidad es una cantidad que varía espacialmente en una variedad diferenciable que puede integrarse de manera intrínseca. De manera abstracta, una densidad es una sección de un cierto paquete de líneas , llamado paquete de densidad . Un elemento del haz de densidad en x es una función que asigna un volumen para el paralelootopo generado por los n vectores tangentes dados en x .
Desde el punto de vista operativo, una densidad es una colección de funciones en gráficos de coordenadas que se multiplican por el valor absoluto del determinante jacobiano en el cambio de coordenadas. Las densidades se pueden generalizar en s -densidades , cuyas representaciones de coordenadas se multiplican por la s -ésima potencia del valor absoluto del determinante jacobiano. En una variedad orientada , 1-densidades pueden ser canónicamente identificados con los n -formas en M . En variedades no orientables, esta identificación no se puede hacer, ya que el paquete de densidad es el producto tensorial del paquete de orientación de M y eln -ésimo paquete de producto exterior de T ∗ M (ver pseudotensor ).
Motivación (densidades en espacios vectoriales)
En general, no existe un concepto natural de un "volumen" para un paralelotopo generado por los vectores v 1 , ..., v n en un n -dimensional espacio vectorial V . Sin embargo, si se desea definir una función μ : V × ... × V → R que asigne un volumen para cualquier paralelootopo, debe satisfacer las siguientes propiedades:
- Si alguno de los vectores v k se multiplica por λ ∈ R , el volumen debe multiplicarse por | λ |.
- Si cualquier combinación lineal de los vectores v 1 , ..., v j −1 , v j +1 , ..., v n se suma al vector v j , el volumen debe permanecer invariante.
Estas condiciones son equivalentes a la afirmación de que μ viene dada por una medida invariante en la traducción en V , y pueden reformularse como
Cualquiera de tales mapeo μ : V × ... × V → R se llama una densidad en el espacio vectorial V . Tenga en cuenta que si ( v 1 , ..., v n ) es cualquier base para V , entonces fijar μ ( v 1 , ..., v n ) fijará μ por completo; se sigue que el conjunto Vol ( V ) de todas las densidades en V forma un espacio vectorial unidimensional. Cualquier n -form ω en V define una densidad | ω | en V por
Orientaciones en un espacio vectorial
El conjunto O ( V ) de todas las funciones o : V × ... × V → R que satisfacen
forma un espacio vector unidimensional, y una orientación en V es uno de los dos elementos o ∈ O ( V ) tal que | o ( v 1 , ..., v n ) | = 1 para cualquier v 1 , ..., v n linealmente independiente . Cualquier forma n distinta de cero ω en V define una orientación o ∈ O ( V ) tal que
y viceversa, cualquier o ∈ O ( V ) y cualquier densidad mu ∈ Vol ( V ) definir un n -form ω en V por
En términos de espacios de producto tensorial ,
s -densidades en un espacio vectorial
Las s -densidades en V son funciones μ : V × ... × V → R tales que
Al igual densidades, s -densities forman un unidimensional espacio vectorial Vol s ( V ), y cualquier n -form ω en V define una s -Densidad | ω | s en V por
El producto de s 1 - y s 2 -densidades μ 1 y μ 2 forman una ( s 1 + s 2 ) -densidad μ por
En términos de espacios de producto tensorial, este hecho se puede afirmar como
Definición
Formalmente, el paquete de densidad s Vol s ( M ) de una variedad diferenciable M se obtiene mediante una construcción de paquete asociada , entrelazando la representación de grupo unidimensional
del grupo lineal general con el haz de marco de M .
El paquete de líneas resultante se conoce como el paquete de densidades s , y se denota por
Una densidad 1 también se denomina simplemente densidad.
Más en general, la construcción haz asociado también permite densidades para construirse a partir de cualquier paquete del vector E en M .
En detalle, si ( U α , φ α ) es un atlas de gráficos de coordenadas en M , entonces se asocia una trivialización local de
subordinado a la cubierta abierta U α de modo que el ciclo GL (1) asociado satisface
Integración
Las densidades juegan un papel importante en la teoría de la integración en variedades. De hecho, la definición de densidad está motivada por cómo cambia una medida dx bajo un cambio de coordenadas ( Folland 1999 , Sección 11.4, págs. 361-362).
Dada una densidad 1 ƒ admitida en un gráfico de coordenadas U α , la integral se define por
donde la última integral es con respecto a la medida de Lebesgue en R n . La ley de transformación para densidades 1 junto con el cambio jacobiano de variables asegura la compatibilidad en las superposiciones de diferentes gráficos de coordenadas, por lo que la integral de una densidad 1 general con soporte compacto se puede definir mediante un argumento de partición de unidad . Así, las densidades 1 son una generalización de la noción de una forma de volumen que no requiere necesariamente que el colector esté orientado o incluso orientable. Se puede desarrollar de manera más general una teoría general de las medidas de radón como secciones de distribuciónutilizando el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani .
El conjunto de densidades 1 / p tales que es un espacio lineal normado cuya terminación se llama la intrínseca L p espacio de M .
Convenciones
En algunas áreas, particularmente en la geometría conforme , se usa una convención de ponderación diferente: el conjunto de densidades s se asocia en cambio con el carácter
Con esta convención, por ejemplo, se integran densidades n (en lugar de densidades 1). También en estas convenciones, una métrica conforme se identifica con una densidad de tensor de peso 2.
Propiedades
- El paquete de vector dual de es .
- Las densidades de tensor son secciones del producto tensorial de un paquete de densidad con un paquete de tensor.
Referencias
- Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-20062-8.
- Folland, Gerald B. (1999), Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (segunda ed.), ISBN 978-0-471-31716-6, proporciona una breve discusión de las densidades en la última sección.CS1 maint: posdata ( enlace )
- Nicolaescu, Liviu I. (1996), Conferencias sobre la geometría de las variedades , River Edge, Nueva Jersey: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-2836-1, MR 1435504
- Lee, John M (2003), Introducción a los colectores lisos , Springer-Verlag