En la teoría de conjuntos , un cardenal de Jónsson (llamado así por Bjarni Jónsson ) es un cierto tipo de número cardinal grande .
Se dice que un número cardinal incontable κ es Jónsson si para cada función f : [κ] <ω → κ hay un conjunto H de tipo de orden κ tal que para cada n , f restringido a n subconjuntos de elementos de H omite al menos un valor en κ.
Cada cardenal de Rowbottom es Jónsson. Según un teorema de Eugene M. Kleinberg, las teorías ZFC + “hay un cardenal de Rowbottom ” y ZFC + “hay un cardenal de Jónsson” son equivalentes. William Mitchell demostró, con la ayuda del modelo central de Dodd-Jensen , que la consistencia de la existencia de un cardenal de Jónsson implica la consistencia de la existencia de un cardenal de Ramsey , de modo que la existencia de los cardenales de Jónsson y la existencia de los cardenales de Ramsey son equivalentes . [1]
En general, los cardenales de Jónsson no necesitan ser grandes cardenales en el sentido habitual: pueden ser singulares . Pero la existencia de un cardenal de Jónsson singular es equivalente a la existencia de un cardenal mensurable . Usando el axioma de elección , muchos pequeños cardenales (el, por ejemplo) puede demostrarse que no es Jónsson. Sin embargo, resultados como este necesitan el axioma de elección: el axioma de determinación implica que para cada número natural positivo n , el cardinal es Jónsson.
Un álgebra de Jónsson es un álgebra sin subálgebras propias de la misma cardinalidad. (No están relacionados con las álgebras de Jónsson-Tarski ). Aquí, álgebra significa un modelo para un lenguaje con un número contable de símbolos de función, en otras palabras, un conjunto con un número contable de funciones a partir de productos finitos del conjunto a sí mismo. Un cardenal es un cardenal de Jónsson si y solo si no hay álgebras de Jónsson de esa cardinalidad. La existencia de funciones de Jónsson muestra que si se permite que las álgebras tengan operaciones infinitas, entonces no hay análogos de los cardenales de Jónsson.
Referencias
- ^ Mitchell, William J .: "Jonsson Cardinals, Erdos Cardinals and the Core Model", Journal of Symbolic Logic 64 (3): 1065-1086, 1999.
- Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.
- Jónsson, Bjarni (1972), Temas de álgebra universal , Lecture Notes in Mathematics, 250 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0058648 , MR 0345895