característica theta
En matemáticas , una característica theta de una curva algebraica no singular C es una clase de divisor Θ tal que 2Θ es la clase canónica . el paquete canónico , aquí también equivalentemente el paquete cotangente holomorfo . En términos de geometría algebraica , la definición equivalente es como un haz invertible , que cuadra al haz de diferenciales del primer tipo . Las características theta fueron introducidas por Rosenhain ( 1851 )
La importancia de este concepto se dio cuenta primero en la teoría analítica de las funciones theta , y geométricamente en la teoría de las bitangentes . En la teoría analítica, hay cuatro funciones theta fundamentales en la teoría de las funciones elípticas jacobianas . Sus etiquetas son en efecto las características theta de una curva elíptica . Para ese caso, la clase canónica es trivial (cero en el grupo de la clase del divisor ) y, por lo tanto, se ve que las características theta de una curva elíptica E sobre los números complejos están en correspondencia 1-1 con los cuatro puntos P en E con 2 P= 0; este es el conteo de las soluciones que se desprende de la estructura del grupo, un producto de dos grupos circulares , cuando E se trata como un toro complejo .
Para C de género 0 existe una clase de divisor de este tipo, a saber, la clase de -P , donde P es cualquier punto de la curva. En el caso de un género superior g , suponiendo que el campo sobre el que se define C no tiene la característica 2 , las características theta se pueden contar como
Esto sucede porque las soluciones de la ecuación en el nivel de clase del divisor formarán una sola clase lateral de las soluciones de
Esto reduce contar las características theta a encontrar el rango 2 de la variedad jacobiana J ( C ) de C . En el caso complejo, de nuevo, se sigue el resultado ya que J ( C ) es un toro complejo de dimensión 2 g . Sobre un campo general, ver la teoría explicada en la matriz de Hasse-Witt para el conteo del rango p de una variedad abeliana . La respuesta es la misma, siempre que la característica del campo no sea 2.
Una característica theta Θ se denominará par o impar dependiendo de la dimensión de su espacio de secciones globales . Resulta que en C hay características theta pares e impares.
