En matemáticas, el corchete de Toda es una operación en clases de homotopía de mapas, en particular en grupos de esferas de homotopía , que lleva el nombre de Hiroshi Toda , quien los definió y los usó para calcular grupos de esferas de homotopía en ( Toda 1962 ).
Definición
Consulte ( Kochman 1990 ) o ( Toda 1962 ) para obtener más información. Suponer que
es una secuencia de mapas entre espacios, de modo que las composiciones y son ambos nulhomotópicos . Dado un espacio, dejar denotar el cono de. Luego obtenemos un mapa (no único)
inducida por una homotopía de a un mapa trivial, que cuando se compuso posteriormente con da un mapa
- .
Del mismo modo, obtenemos un mapa no único. inducida por una homotopía de a un mapa trivial, que cuando se compone con , el cono del mapa , da otro mapa,
- .
Al unir estos dos conos en y los mapas de ellos a , obtenemos un mapa
representando un elemento en el grupo de clases de homotopía de mapas de la suspensión a , llamado el paréntesis Toda de, , y . El mapano se define de forma única hasta la homotopía, porque hubo algunas opciones al elegir los mapas de los conos. Cambiar estos mapas cambia el corchete Toda al agregar elementos de y .
También hay paréntesis Toda superior de varios elementos, definidos cuando desaparecen los paréntesis Toda inferior adecuados. Esto es paralelo a la teoría de los productos de Massey en cohomología .
El soporte de Toda para grupos de esferas homotópicas estables
La suma directa
de los grupos de homotopía estable de esferas es un supercommutative graduada anillo , donde la multiplicación (llamado producto de la composición) viene dada por la composición de los mapas que representan, y cualquier elemento de la no-cero grados es nilpotent ( Nishida 1973 ).
Si f y g y h son elementos de con y , hay un paréntesis de Toda de estos elementos. El paréntesis de Toda no es del todo un elemento de un grupo de homotopía estable, porque sólo se define hasta la adición de productos de composición de ciertos otros elementos. Hiroshi Toda usó el producto de composición y corchetes de Toda para etiquetar muchos de los elementos de los grupos homotópicos. Cohen (1968) demostró que todos los elementos de los grupos de esferas de homotopía estable pueden expresarse utilizando productos de composición y corchetes de Toda superiores en términos de ciertos elementos bien conocidos, llamados elementos de Hopf.
El corchete de Toda para categorías generales trianguladas
En el caso de una categoría triangulada general , el corchete de Toda se puede definir de la siguiente manera. De nuevo, suponga que
es una secuencia de morfismo en una categoría triangulada tal que y . Dejardenotamos el cono de f por lo que obtenemos un triángulo exacto
La relación implica que g factores (no únicos) a través de como
para algunos . Entonces, la relación implica que factores (no únicos) a través de W [1] como
para algunos b . Esta b es (una elección de) el corchete de Toda en el grupo .
Teorema de convergencia
Existe un teorema de convergencia originalmente debido a Moss [1] que establece que los productos especiales de Massey de elementos en el -página de la secuencia espectral de Adams contiene un ciclo permanente, lo que significa que tiene un elemento asociado en, asumiendo los elementos son ciclos permanentes [2] pág . 18-19 . Además, estos productos de Massey tienen una elevación a una secuencia espectral de Adams motivic dando un elemento en el corchete de Toda en para elementos levantamiento .
Referencias
- ↑ Moss, R. Michael F. (1 de agosto de 1970). "Composiciones secundarias y la secuencia espectral de Adams" . Mathematische Zeitschrift . 115 (4): 283–310. doi : 10.1007 / BF01129978 . ISSN 1432-1823 . S2CID 122909581 .
- ^ Isaksen, Daniel C .; Wang, Guozhen; Xu, Zhouli (17 de junio de 2020). "Tallos más estables". arXiv : 2001.04511 [ math.AT ].
- Cohen, Joel M. (1968), "La descomposición de la homotopía estable.", Annals of Mathematics , Second Series, 87 (2): 305–320, doi : 10.2307 / 1970586 , JSTOR 1970586 , MR 0231377 , PMC 224450 , PMID 16591550.
- Kochman, Stanley O. (1990), "Toda brackets", Grupos de esferas de homotopía estable. Un enfoque asistido por computadora , Lecture Notes in Mathematics, 1423 , Berlín: Springer-Verlag , págs. 12–34, doi : 10.1007 / BFb0083797 , ISBN 978-3-540-52468-7, MR 1052407.
- Nishida, Goro (1973), "The nilpotency of elements of the estable homotopy groups of spheres", Journal of the Mathematical Society of Japan , 25 (4): 707–732, doi : 10.2969 / jmsj / 02540707 , ISSN 0025-5645 , MR 0341485.
- Toda, Hiroshi (1962), Métodos de composición en grupos de esferas de homotopía , Annals of Mathematics Studies, 49 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09586-8, MR 0143217.