En teoría musical y afinación , un diamante de tonalidad es un diagrama bidimensional de proporciones en el que una dimensión es la otonalidad y la otra la utonalidad . [1] Por lo tanto, el diamante de tonalidad n-límite ("límite" aquí es en el sentido de límite impar, no límite principal) es una disposición en forma de diamante del conjunto de números racionales r ,, de modo que la parte impar tanto del numerador como del denominador de r , cuando se reducen a los términos más bajos, es menor o igual que el número impar fijo n . De manera equivalente, el diamante puede considerarse como un conjunto de clases de tono , donde una clase de tono es una clase de equivalencia de tonos por debajo de la equivalencia de octava . A menudo se considera que el diamante de tonalidad comprende el conjunto de consonancias del límite n. Aunque originalmente fue inventado por Max Friedrich Meyer , [2] el diamante de tonalidad ahora está más asociado con Harry Partch ("Muchos teóricos de la entonación justa consideran que el diamante de tonalidad Partch es la mayor contribución a la teoría microtonal" [3] ).
El arreglo de diamantes
Partch dispuesto los elementos del diamante tonalidad en la forma de un rombo , y subdividido en (n + 1) 2 /4 más pequeña rombos. A lo largo del lado superior izquierdo del rombo se colocan los números impares del 1 al n, cada uno reducido a la octava (dividido por la potencia mínima de 2 de manera que). Estos intervalos se organizan luego en orden ascendente. A lo largo del lado inferior izquierdo se colocan los recíprocos correspondientes, 1 a 1 / n, también reducido a la octava (aquí, multiplicado por la potencia mínima de 2 de tal manera que). Estos se colocan en orden descendente. En todas las demás ubicaciones se coloca el producto de los intervalos diagonalmente superior e inferior izquierdo, reducidos a la octava. Esto le da todos los elementos de la tonalidad al diamante, con alguna repetición. Las diagonales que se inclinan en una dirección forman Otonalidades y las diagonales en la otra dirección forman Utonalidades. Uno de los instrumentos de Partch, la marimba de diamante , se organiza de acuerdo con la tonalidad del diamante.
Nexo numerario
Un nexo numerario es una identidad compartida por dos o más razones de intervalo en su numerador o denominador , con identidades diferentes en el otro. [1] Por ejemplo, en la otonalidad el denominador es siempre 1, por lo que 1 es el nexo numérico:
En la Utonalidad, el numerador es siempre 1 y el nexo numérico es, por tanto, también 1:
Por ejemplo, en un diamante de tonalidad, como el diamante de 11 límites de Harry Partch , cada proporción de una fila inclinada hacia la derecha comparte un numerador y cada proporción de una fila inclinada hacia la izquierda comparte un denominador. Cada razón de la fila superior izquierda tiene 7 como denominador, mientras que cada razón de la fila superior derecha tiene 7 (o 14) como numerador.
Límite de 5
3 ⁄ 2 | |||||
5 ⁄ 4 | 6 ⁄ 5 | ||||
1 ⁄ 1 | 1 ⁄ 1 | 1 ⁄ 1 | |||
8 ⁄ 5 | 5 ⁄ 3 | ||||
4 ⁄ 3 |
3 ⁄ 2 | |||||
5 ⁄ 4 | 6 ⁄ 5 | ||||
1 ⁄ 1 | 1 ⁄ 1 | 1 ⁄ 1 | |||
8 ⁄ 5 | 5 ⁄ 3 | ||||
4 ⁄ 3 |
Este diamante contiene tres identidades (1, 3, 5).
7 límites
7 ⁄ 4 | ||||||
3 ⁄ 2 | 7 ⁄ 5 | |||||
5 ⁄ 4 | 6 ⁄ 5 | 7 ⁄ 6 | ||||
1 ⁄ 1 | 1 ⁄ 1 | 1 ⁄ 1 | 1 ⁄ 1 | |||
8 ⁄ 5 | 5 ⁄ 3 | 12 ⁄ 7 | ||||
4 ⁄ 3 | 10 ⁄ 7 | |||||
8 ⁄ 7 |
Este diamante contiene cuatro identidades (1, 3, 5, 7).
11 límites
Este diamante contiene seis identidades (1, 3, 5, 7, 9, 11). Harry Partch usó el diamante de tonalidad de 11 límites, pero lo giró 90 grados.
Límite de 15
15 ⁄ 8 | ||||||||||||||
7 ⁄ 4 | 5 ⁄ 3 | |||||||||||||
13 ⁄ 8 | 14 ⁄ 9 | 3 ⁄ 2 | ||||||||||||
3 ⁄ 2 | 13 ⁄ 9 | 7 ⁄ 5 | 15 / 11 | |||||||||||
11 ⁄ 8 | 4 ⁄ 3 | 13 ⁄ 10 | 14 ⁄ 11 | 5 ⁄ 4 | ||||||||||
5 ⁄ 4 | 11 ⁄ 9 | 6 ⁄ 5 | 13 ⁄ 11 | 7 ⁄ 6 | 15 / 13 | |||||||||
9 ⁄ 8 | 10 ⁄ 9 | 11 ⁄ 10 | 12 ⁄ 11 | 13 ⁄ 12 | 14 ⁄ 13 | 15 ⁄ 14 | ||||||||
1 ⁄ 1 | 1 ⁄ 1 | 1 ⁄ 1 | 1 ⁄ 1 | 1 ⁄ 1 | 1 ⁄ 1 | 1 ⁄ 1 | 1 ⁄ 1 | |||||||
16 ⁄ 9 | 9 ⁄ 5 | 20 / 11 | 11 ⁄ 6 | 24 ⁄ 13 | 13 ⁄ 7 | 28 ⁄ 15 | ||||||||
8 ⁄ 5 | 18 ⁄ 11 | 5 ⁄ 3 | 22 ⁄ 13 | 12 ⁄ 7 | 26 ⁄ 15 | |||||||||
16 ⁄ 11 | 3 ⁄ 2 | 20 / 13 | 11 ⁄ 7 | 8 ⁄ 5 | ||||||||||
4 ⁄ 3 | 18 ⁄ 13 | 10 ⁄ 7 | 22 ⁄ 15 | |||||||||||
16 / 13 | 9 ⁄ 7 | 4 ⁄ 3 | ||||||||||||
8 ⁄ 7 | 6 ⁄ 5 | |||||||||||||
16 ⁄ 15 |
Este diamante contiene ocho identidades (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).
Geometría del diamante de tonalidad
Los diamantes de tonalidad de cinco y siete límites exhiben una geometría muy regular dentro del espacio modulador , lo que significa que todos los elementos del diamante que no son unísonos están a solo una unidad del unísono. El diamante de cinco límites se convierte en un hexágono regular que rodea al unísono y el diamante de siete límites en un cuboctaedro que rodea al unísono. [ cita requerida ] . Erv Wilson ha realizado más ejemplos de celosías de diamantes que van desde el diamante triádico al ogdoádico, donde a cada intervalo se le da su propia dirección única. [4]
Propiedades del diamante de tonalidad
Tres propiedades del diamante de tonalidad y las proporciones contenidas:
- Todas las relaciones entre relaciones vecinas son relaciones superparticulares , aquellas con una diferencia de 1 entre el numerador y el denominador . [5]
- Las razones con números relativamente más bajos tienen más espacio entre ellas que las razones con números más altos. [5]
- El sistema, incluidas las proporciones entre las proporciones, es simétrico dentro de la octava cuando se mide en centavos, no en proporciones. [5]
Por ejemplo:
Diamante de tonalidad de 5 límites, ordenados de menor a mayor | ||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Proporción | 1 ⁄ 1 | 6 ⁄ 5 | 5 ⁄ 4 | 4 ⁄ 3 | 3 ⁄ 2 | 8 ⁄ 5 | 5 ⁄ 3 | 2 ⁄ 1 | ||||||||
Centavos | 0 | 315,64 | 386,31 | 498.04 | 701,96 | 813,69 | 884,36 | 1200 | ||||||||
Ancho | 315,64 | 70,67 | 111,73 | 203,91 | 111,73 | 70,67 | 315,64 |
- La relación entre 6 ⁄ 5 y 5 ⁄ 4 (y 8 ⁄ 5 y 5 ⁄ 3 ) es 25 ⁄ 24 .
- Las proporciones con números relativamente bajos 4 ⁄ 3 y 3 ⁄ 2 tienen 203,91 centavos de diferencia, mientras que las proporciones con números relativamente altos 6 ⁄ 5 y 5 ⁄ 4 están separados por 70,67 centavos.
- La relación entre la más baja y la segunda más baja y la más alta y la segunda más alta es la misma, y así sucesivamente.
Tamaño del diamante de tonalidad
Si φ ( n ) es la función totient de Euler , que da el número de enteros positivos menores que ny primos relativamente an , es decir, cuenta los enteros menores que n que no comparten un factor común con n, y si d (n) denota el tamaño del diamante de tonalidad n-límite, tenemos la fórmula
De esto podemos concluir que la tasa de crecimiento del diamante de tonalidad es asintóticamente igual a . Los primeros valores son los importantes, y el hecho de que el tamaño del diamante crezca a medida que el cuadrado del tamaño del límite impar nos dice que se vuelve grande con bastante rapidez. Hay siete miembros en el diamante de 5 límites, 13 en el diamante de 7 límites, 19 en el diamante de 9 límites, 29 en el diamante de 11 límites, 41 en el diamante de 13 límites y 49 en el límite de 15. diamante; estos son suficientes para la mayoría de los propósitos.
Relaciones de traducción a longitud de cadena
Yuri Landman publicó un diagrama de otonalidad y singularidad que aclara la relación de los diamantes de tonalidad de Partch con la serie armónica y la longitud de las cuerdas (como Partch también usó en sus Kitharas) y el instrumento Landmans Moodswinger . [6]
En las proporciones de Partch, el número superior corresponde a la cantidad de divisiones iguales de una cuerda en vibración y el número inferior corresponde a la división a la que se acorta la longitud de la cuerda. 5 ⁄ 4, por ejemplo, se deriva de dividir la cuerda en 5 partes iguales y acortar la longitud a la cuarta parte desde la parte inferior. En el diagrama de Landmans, estos números están invertidos, cambiando las relaciones de frecuencia en relaciones de longitud de cuerda.
Ver también
- Lattice (música)
- Flujo de tonalidad
Referencias
- ↑ a b Rasch, Rudolph (2000). "Una palabra o dos sobre las afinaciones de Harry Partch", Harry Partch: una antología de perspectivas críticas , p.28. Dunn, David, ed. ISBN 90-5755-065-2 .
- ^ Forster, Cristiano (2000). " Matemáticas musicales: Diamante de Meyer ", Chrysalis-Foundation.org . Consultado: 09 de diciembre de 2016.
- ^ Granade, S. Andrew (2014). Harry Partch, Hobo Composer , p. 295. Boydell & Brewer. ISBN 9781580464956 >
- ^ " Diamond Lattices ", Los archivos de Wilson, Anaphoria.com . Consultado: 09 de diciembre de 2016.
- ↑ a b c Rasch (2000), p. 30.
- ^ [1]