Una forma bilineal integral es una funcional bilineal que pertenece al espacio dual continuo de, El producto tensorial inyectiva de la convexa localmente topológica vector espacios (TVSS) X y Y . Un operador lineal integral es un operador lineal continuo que surge de forma canónica a partir de una forma bilineal integral.
Estos mapas juegan un papel importante en la teoría de espacios nucleares y mapas nucleares .
Definición: formas integrales como el dual del producto tensorial inyectivo
Sean X e Y TVS localmente convexos, seandenotar el producto tensorial proyectivo , denotar su finalización, dejemos denotar el producto tensorial inyectivo , ydenotar su finalización. Suponer que denota la incrustación de TVS de en su finalización y dejar sea su transposición , que es un isomorfismo espacial vectorial. Esto identifica el espacio dual continuo de como idéntico al espacio dual continuo de .
Dejar denotar el mapa de identidad y denotar su transposición , que es una inyección continua. Recordar que se identifica canónicamente con , el espacio de mapas bilineales continuos en . De esta manera, el espacio dual continuo de puede identificarse canónicamente como un subespacio vectorial de , denotado por . Los elementos dese llaman formas integrales (bilineales) en. El siguiente teorema justifica la palabra integral .
Teorema [1] [2] - El doble J ( X , Y ) deconsiste exactamente en esas formas bilineales continuas c en que se puede representar en forma de mapa
donde S y T son algunos subconjuntos cerrados equicontinuos de y , respectivamente, y es una medida de radón positiva en el conjunto compacto con masa total Además, si A es un subconjunto equicontinuo de J ( X , Y ), entonces los elementos se puede representar con fijo y corriendo a través de un subconjunto delimitado por normas del espacio de medidas de radón en
Mapas lineales integrales
Un mapa lineal continuo se llama integral si su forma bilineal asociada es una forma bilineal integral, donde esta forma se define por. [3] De ello se deduce que un mapa integraltiene la forma: [3]
para subconjuntos S y T adecuados débilmente cerrados y equicontinuos de y , respectivamente, y alguna medida positiva de radón de masa total ≤ 1. La integral anterior es la integral débil , por lo que la igualdad se cumple si y solo si para cada, .
Dado un mapa lineal , se puede definir una forma bilineal canónica , llamada forma bilineal asociada en, por . Un mapa continuose llama integral si su forma bilineal asociada es una forma bilineal integral. [4] Un mapa integral es de la forma, para cada y :
para subconjuntos adecuados débilmente cerrados y equicontinuos y de y , respectivamente, y alguna medida positiva de radón de masa total .
Relación con los espacios de Hilbert
El siguiente resultado muestra que los mapas integrales "factorizan" los espacios de Hilbert.
Proposición: [5] Supongamos quees un mapa integral entre TVS localmente convexos con Y Hausdorff y completo. Existe un espacio de Hilbert H y dos mapeos lineales continuos y tal que .
Además, todo operador integral entre dos espacios de Hilbert es nuclear . [5] Por lo tanto, un operador lineal continuo entre dos espacios de Hilbert es nuclear si y solo si es integral.
Condiciones suficientes
Todo mapa nuclear es integral. [4] Un inverso parcial importante es que todo operador integral entre dos espacios de Hilbert es nuclear . [5]
Suponga que A , B , C y D son TVS localmente convexos de Hausdorff y que, , y son todos operadores lineales continuos. Si es un operador integral, entonces también lo es la composición . [5]
Si es un operador lineal continuo entre dos espacios normativos, entonces es integral si y solo si es integral. [6]
Suponer que es un mapa lineal continuo entre TVS localmente convexos. Sies integral, entonces también lo es su transposición . [4] Ahora suponga que la transposición del mapa lineal continuo es integral. Luego es integral si las inyecciones canónicas (definido por valor en x ) yson incrustaciones de TVS (lo que ocurre si, por ejemplo, y son de cañón o metrizables). [4]
Propiedades
Suponga que A , B , C y D son TVS localmente convexos de Hausdorff con B y D completos . Si, , y son todos mapas lineales integrales, entonces su composición es nuclear . [5] Así, en particular, si X es un espacio de Fréchet de dimensión infinita, entonces una sobreyección lineal continua no puede ser un operador integral.
Ver también
Referencias
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 168.
- ^ Trèves 2006 , págs. 500-502.
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , p. 169.
- ↑ a b c d Trèves , 2006 , págs. 502-505.
- ↑ a b c d e Trèves , 2006 , págs. 506-508.
- ^ Trèves , 2006 , págs.505.
Bibliografía
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enlaces externos
- Espacio nuclear en ncatlab