En el campo matemático de la teoría de grupos , los de transferencia define, dado un grupo G y un subgrupo de finito índice de H , un homomorfismo de grupos de G a la abelianization de H . Se puede utilizar junto con los teoremas de Sylow para obtener ciertos resultados numéricos sobre la existencia de grupos simples finitos.
La transferencia fue definida por Issai Schur ( 1902 ) y redescubierta por Emil Artin ( 1929 ). [1]
Construcción
La construcción del mapa procede de la siguiente manera: [2] Sea [ G : H ] = n y seleccione representantes de la clase lateral , digamos
para H en G , por lo que G se puede escribir como una unión disjunta
Dado y en G , cada yx i está en alguna clase lateral x j H y así
para algún índice j y algún elemento h i de H . El valor de la transferencia para y se define como la imagen del producto.
en H / H ', donde H ' es el grupo de los conmutadores de H . El orden de los factores es irrelevante ya que H / H ′ es abeliano.
Es sencillo demostrar que, aunque el individuo h i depende de la elección de representantes de clases laterales, el valor de la transferencia no lo hace. También es sencillo mostrar que el mapeo definido de esta manera es un homomorfismo.
Ejemplo
Si G es cíclico entonces la transferencia tiene cualquier elemento y de G a y [ G : H ] .
Un caso simple es el visto en el lema de Gauss sobre residuos cuadráticos , que en efecto calcula la transferencia para el grupo multiplicativo de clases de residuos distintos de cero módulo un número primo p , con respecto al subgrupo {1, −1}. [1] Una ventaja de verlo de esa manera es la facilidad con la que se puede encontrar la generalización correcta, por ejemplo, para residuos cúbicos en el caso de que p - 1 sea divisible por tres.
Interpretación homológica
Este homomorfismo puede establecerse en el contexto de la cohomología de grupo (estrictamente, homología de grupo ), proporcionando una definición más abstracta. [3] La transferencia también se ve en la topología algebraica , cuando se define entre espacios de clasificación de grupos.
Terminología
La transferencia de nombre se traduce en alemán Verlagerung , que fue acuñado por Helmut Hasse .
Subgrupo de conmutadores
Si G se genera de forma finita, el subgrupo de conmutadores G ′ de G tiene un índice finito en G y H = G ′, entonces el mapa de transferencia correspondiente es trivial. En otras palabras, el mapa envía G a 0 en la abelianización de G ′. Esto es importante para demostrar el principal teorema ideal en la teoría de campos de clases . [1] Ver las notas de teoría de campo de la clase de Emil Artin - John Tate .
Ver también
- Teorema del subgrupo focal , una aplicación importante de la transferencia
- Según la ley de reciprocidad de Artin, la transferencia de Artin describe la principalización de clases ideales en extensiones de campos numéricos algebraicos.
Referencias
- Artin, Emil (1929), "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007 / BF02941159 , S2CID 121475651
Schur, Issai (1902), "Neuer Beweis eines Satzes über endliche Gruppen", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 1013–1019, JFM 33.0146.01