Triángulo

Un triángulo es un polígono de tres aristas y tres vértices . Es una de las formas básicas en geometría . Se denota un triángulo con vértices A , B y C .

En la geometría euclidiana , tres puntos cualesquiera, cuando no son colineales , determinan un triángulo único y, simultáneamente, un plano único (es decir, un espacio euclidiano bidimensional ). En otras palabras, solo hay un plano que contiene ese triángulo, y cada triángulo está contenido en algún plano. Si toda la geometría es solo el plano euclidiano , solo hay un plano y todos los triángulos están contenidos en él; sin embargo, en espacios euclidianos de dimensiones superiores, esto ya no es cierto. Este artículo trata sobre triángulos en geometría euclidiana y, en particular, el plano euclidiano, excepto donde se indique lo contrario.

La terminología para categorizar triángulos tiene más de dos mil años y se definió en la primera página de los Elementos de Euclides . Los nombres utilizados para la clasificación moderna son una transliteración directa del griego de Euclides o sus traducciones latinas.

El matemático griego antiguo Euclides definió tres tipos de triángulos según la longitud de sus lados: [1] [2]

Griego : τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς , ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς , σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς , lit.  'De las figuras triláteras, un triángulo isopleuron [equilátero] es el que tiene sus tres lados iguales, un isósceles el que tiene dos de sus lados solo iguales, y un escaleno el que tiene sus tres lados desiguales.' [3]

Las marcas de sombreado , también llamadas marcas de verificación, se utilizan en diagramas de triángulos y otras figuras geométricas para identificar lados de igual longitud. Un lado se puede marcar con un patrón de "ticks", segmentos de línea cortos en forma de marcas de conteo ; dos lados tienen la misma longitud si ambos están marcados con el mismo patrón. En un triángulo, el patrón no suele tener más de 3 tics. Un triángulo equilátero tiene el mismo patrón en los 3 lados, un triángulo isósceles tiene el mismo patrón en solo 2 lados y un triángulo escaleno tiene diferentes patrones en todos los lados, ya que ninguno de los lados es igual.

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Triángulo = Tri (tres) + Ángulo
Diagrama de Euler de tipos de triángulos, utilizando la definición de que los triángulos isósceles tienen al menos 2 lados iguales (es decir, los triángulos equiláteros son isósceles).
La primera página de los Elementos de Euclides , de la primera versión impresa del mundo (1482), que muestra la sección de "definiciones" del Libro I. El triángulo rectángulo está etiquetado como " orthogonius ", y los dos ángulos que se muestran son "acutus" y "angulus obtusus". .
Un triángulo, que muestra el ángulo exterior d.
Las medidas de los ángulos interiores del triángulo siempre suman 180 grados (mismo color para señalar que son iguales).
El teorema de Pitágoras
El circuncentro es el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
La intersección de las alturas es el ortocentro .
La intersección de las bisectrices de los ángulos es el centro de la circunferencia inscrita .
La intersección de las medianas es el baricentro .
El círculo de nueve puntos demuestra una simetría donde seis puntos se encuentran en el borde del triángulo.
La línea de Euler es una línea recta que pasa por el ortocentro (azul), el centro del círculo de nueve puntos (rojo), el baricentro (naranja) y el circuncentro (verde)
Un triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90° (π/2 radianes), aquí con la etiqueta C. Los ángulos A y B pueden variar. Las funciones trigonométricas especifican las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos interiores de un triángulo rectángulo.
Un triángulo con lados de longitud a, b y c y ángulos de α, β y γ respectivamente.
El área de un triángulo se puede demostrar, por ejemplo mediante la congruencia de triángulos , como la mitad del área de un paralelogramo que tiene la misma longitud de base y altura.
Una derivación gráfica de la fórmula que evita el procedimiento habitual de duplicar el área del triángulo y luego dividirlo por la mitad.
Aplicar la trigonometría para encontrar la altura h .
El triángulo de Morley, resultante de la trisección de cada ángulo interior. Este es un ejemplo de una regla de subdivisión finita .
El edificio Flatiron de Nueva York tiene forma de prisma triangular